No constante de la analítica de la función de $\{z\in\mathbb{C}:z\neq 0\}$ $\{z\in\mathbb{C}:|z|>1\}.$

Question

No es no constante de la analítica de la función de $\{z\in\mathbb{C}:z\neq 0\}$ $\{z\in\mathbb{C}:|z|>1\}?$Según yo no hay tal no constante de la analítica de la función, porque si hay cualquier función decir $f,$ $f$ puede tener un poste o una singularidad esencial en a $z=0$. En el caso de los polos del teorema de Picard de meromoprphic función de trabajo y en el caso de singularidad esencial sabemos que la imagen de cualquier barrio de singularidad esencial es denso en $\mathbb{C}$, por lo que en ambos casos se obtiene una contradicción. Así que no hay tal no constante de la analítica de la función. Estoy en lo cierto? Por favor, me sugieren. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\mathbb{C}\setminus\overline {\mathbb{D}}$ es conformemente equivalente a $\mathbb{\overline D}\setminus\{0\}$, a través del mapa de $z \to \dfrac{1}{z}$. Así que, esencialmente, usted tiene que construir un mapa de$\mathbb{C}\setminus\{0\}$$\mathbb{\overline D}\setminus\{0\}$. Supongamos que el mapa es $f$. Ya tenemos un mapa, $\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$$z \to e^z$. Componen esta con $f$ para obtener un almacén de toda la función, lo que significa que $f$ es constante.

Answer 2

Si es así, a continuación, $1/f$ está acotada. Por lo tanto $1/f$ tiene una singularidad removible en el origen, dando un almacén de toda la función.