Cohomology de la clase de la puesta a cero de una sección

Question

Digamos que tenemos un rango de $r$ liso vector paquete de $E\to X$ y un suave sección $s:X\to E$. Poco después de los 30 min de la marca en este video de Joe Harris define el $r$th clase de Chern de este paquete para ser el cohomology de la clase $c_r(E)=[x:s(x)=0]$ de los puntos donde la sección se desvanece.

Creo que este es el Poincaré doble a la homología de la clase definida por la desaparición de locus de la sección, y me gustaría saber cómo crear de forma explícita esta homología de la clase, y ver por qué se ha de grado $2r$.

Answer 1

Usted debe estar suponiendo que la sección transversal de la sección cero. En ese caso, la transversalidad dice que la intersección es de $4r = \text{codim}_{TE} X \cap s(X) = \text{codim}_{TE} X + \text{codim}_{TE} s(X) = 2r+2r$. (Tenga en cuenta que $E$ es un vector complejo paquete, por lo que el cero de la sección ha codimension $2r$, no $r$!) A continuación,$\dim X \cap s(X) = n+2r-4r = n-2r$. Esta es una orientada a submanifold; la triangulación con simplices cuyas orientaciones de acuerdo con el colector. La suma de estos es una cadena en la $X$, dando una homología clase de grado $n-2r$. La dualidad de poincaré envía a un cohomology clase de grado $2r$, como se solicitó.

En cuanto a por qué esto está bien definido: Dados dos diferentes secciones transversales $s_i$, hay una sección transversal de $s_t: X \times I \to E$. De modo que la resultante submanifolds $X \cap s_i(X)$ son cobordant a través de las orientadas cobordism $\cup_t X \cap s_t(X)$. La triangulación de este cobordism muestra que las dos clases de homología de la submanifolds $s_i(X)$ representan son homólogos.