Uniformemente continua en función de módulo de continuidad

Question

Dar un ejemplo de una manera uniforme función continua $f: (X,d) \rightarrow (Y,\rho)$ para los que no existe un módulo de continuidad $\omega: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$ tal forma que:

$$\forall x,y \in X: \ \ \rho(f(x), f(y)) \le \omega(d(x,y)).$$

No puedo ir con cualquier cosa. Me podrían ayudar con eso?

Gracias.

Answer 1

Es fácil de llegar con muchos ejemplos, si usted tenga en mente que

• si $d$ es el discreto métrica, $f$ ya es uniformemente continua;
• si el módulo de continuidad es finito en todas partes, entonces la imagen de cada conjunto acotado es también limitada.