Supongamos que la interfaz entre el $A$ $B$ es un "buen" dos dimensiones de la superficie. Entonces parece suficiente si al menos uno de $A,B$ es un conjunto convexo. No sé de un ejemplo donde ni es convexa y su propiedad se mantiene, y parece que de improviso que si ambos son convexas de la interfaz debe ser un avión (pero realmente no he probado que la última cosa).
Aquí está el argumento, suponiendo sin pérdida que es $A$ que se supone que para ser convexo. Ahora suponga que hay puntos de $P \in A$ $Q \in B$ y el segmento de $PQ$ corta a través de la interfaz de $I$ (límite común de $A,B$) más de una vez. Después de mover el segmento de $PQ$ un poco podemos suponer que se cumple con $I$ transversalmente cuando no cumple con ella, así que mientras se mueve a lo largo del segmento de $PQ$ de los puntos son alternativamente en conjunto $A$ o conjunto de $B.$ Se inicia en el conjunto de $A,$ finalmente cruzar $I$ la primera vez cuando se está entonces en $B,$ y en el cruce de $I$ una segunda vez que está de vuelta en $A.$, Pero esto le da un segmento de partida en $P$ y terminando en algún punto de $R$ en el segmento de $PQ,$ para $P,R$$A$, pero hay un punto entre lo $P$ $R$ que es no en $A,$ contra nuestra suposición de que $A$ es convexa.
Algunos detalles deben ser suministrados. En particular, es probablemente una buena para el uso de $A,B$ para las partes que no incluyen la interfaz de $I,$, de modo que cuando decimos por ejemplo, vamos a $P$ ser un punto de $A$ no nos estamos refiriendo a un punto en la interfaz. También el argumento es ciertamente de un poco de la mano saludando variedad.
Nota que definitivamente no necesita de ambos conjuntos convexos, por ejemplo, $A$ puede ser el interior de una esfera y $B$ (no-convexo) exterior y que satisface a su propiedad deseada con respecto a la configuración de interfaz, en este caso el límite de la esfera.
Trate como yo, no se me ocurre un caso en el que su interfaz posee propiedad, en el que ninguno de los conjuntos convexos. (Puede ser un ejemplo para todos los que me conocen.)
Este argumento sugiere que uno puede tratar de buscar en "conjuntos convexos" para más, a pesar de la definición que tiene en términos de la interfaz de ser sólo un segmento de crossable una vez o no a todos los que no aparecen (me) a ser la norma.
Nota: Se me ocurre que no hay justificación para "menear" el segmento en general, desde luego, uno no puede cubrir todos los casos posibles. Sin embargo buscando ejemplos me lleva a suponer que si un "mal" segmento tiene uno de sus extremos se mueve en la dirección correcta, se conserva al menos dos intersecciones con la interfaz y se convierte en una "buena" del segmento.
Otra nota: el Usuario Rahul ha señalado que la superficie de asiento ($z=x^2-y^2$) da un ejemplo de dos nonconvex $A,B$ que tiene la propiedad con respecto a la interfaz de la superficie de asiento, y $A,B$ la parte de las 3-espacio por encima/por debajo de la superficie de asiento.
Un ejemplo: $A,B$ convexa pero la interfaz deseada condición falsa.
En el $xy$ plano deje $T_A$ ser el triángulo con vértices $(0,0),(2,0),(2,1)$ $T_B$ el triángulo con vértices $(1,0),(3,0),(1,-1).$ hacer en 3-D de las regiones, vamos a $A,B$ denotar el "engrosamiento" de estos triángulos en la $z$ dirección al cruce con el intervalo de $[0,1]$ $z$ eje. Buscando en la $xy$ plano, la interfaz para $T_A$ $T_B$ es el segmento de $[1,2]$ de la $x$ eje. La interfaz para los dos 3-D de las regiones $A,B$, entonces es un cuadrado, que consta de todos los puntos de $(x,0,z)$ $1 \le x \le 2,\ 0 \le z \le 1.$
Estas dos regiones $A,B$ son convexas, siendo los productos de los triángulos con la transversal intervalo de $[0,1]$ de la $z$ eje. Pero si tomamos el punto de $X=(0,0,0)$ región $A$ junto con el punto de $Y=(3,0,0)$ región $B,$ nos encontramos con que la intersección del segmento de $XY$ con la interfaz está todo el intervalo de $[1,2]$ de la $x$ eje, es decir, el segmento de $XY$ en este caso cumple la interfaz (sustancialmente) más de un punto, a pesar de que ambos conjuntos de $A,B$ en esta construcción son convexas.
Este ejemplo muestra algunas de las restricciones son necesarias para la conclusión de la interfaz deseada condición más allá de uno de los conjuntos de $A,B$ ser convexo. Una posible que yo creo que funciona es sólo considere la posibilidad de unirse puntos de $X,Y$ que son estrictamente interior a $A,B.$ Pero no me gusta esta idea desde poligonal ejemplos "debería" ser permitido. Otro es sólo para asumir cada segmento de unirse a un punto de $A$ de la $B$ cumple con la interfaz de un finitely número de veces. Sigo siendo en realidad no está satisfecho con lanzar en tales hipótesis extra.
