Simplificación de expresiones con radicales

Question

Como un ejemplo, considere el polinomio $f(x) = x^3 + x - 2 = (x - 1)(x^2 + x + 2)$, lo que claramente tiene una raíz $x = 1$. Pero también podemos encontrar las raíces mediante el método de Cardano, lo que conduce a

$$x = \sqrt[3]{\sqrt{28/27} + 1} - \sqrt[3]{\sqrt{28/27} - 1}$$

y otras dos raíces.

Es fácil comprobar numéricamente que esta expresión es realmente igual a $1$, pero hay una manera de obtenerlo de manera algebraica que no equivale a mostrar que esta expresión satisface $f(x) = 0$?

Answer 1

Hay muy general de los algoritmos conocidos para los radicales el almacenaje. A continuación se encuentra la estructura teorema que se encuentra en la base de estos algoritmos. Es ampliamente generaliza la heurística empleada por Qiaochu en su respuesta. Puede ser empleada de forma heurística - en una manera similar a como Qiaochu - para realizar complicado denestings, sin necesidad de mucho la comprensión de la teoría subyacente.

En Bloemer de los pabellones de conveniencia en el '91, '92 papeles encontrará su polinomio de algoritmos en tiempo para los radicales el almacenaje. Informalmente, el Almacenaje de la Estructura Teorema dice que si un radical $\rm\; r^{1/d} \;$ denests en cualquier radical extensión de $\rm\; F' \;$ de su base de campo $\rm\; F \;$, luego de un adecuado múltiples $\rm\; q b\: r \;$ de el radicando $\rm\; r \;$ ya debe denest en el campo de $\rm\; F' \;$ definido por la radicando. Más precisamente

El ALMACENAJE de la ESTRUCTURA TEOREMA$\;\; \;$ Deje $\rm\; F \;$ ser un verdadero campo y $\rm\; F' = F(q_1^{1/d1},\ldots,q_k^{1/dk}) \;$ ser un verdadero radical extensión de $\rm\; F \;$ de grado $\rm\; n \;$. Por $\rm\; B = \{b_0,\ldots, b_{n-1}\}$ el valor del estándar base de $\rm\; F' \;$$\rm\; F \;$. Si $\rm\; r \;$ $\rm\; F' \;$ $\rm\; d \;$ es un entero positivo tal que $\rm\; r^{1/d} \;$ denests $\rm\; F \;$ real radicales, es decir, $\rm\; r^{1/d} \;$ $\rm\; F(a_1^{1/t_1},\ldots,a_m^{1/t_m}) \;$ para algunos enteros positivos $\rm\; t_i \;$ positiva y $\rm\; a_i \in F \;$, entonces existe un valor distinto de cero $\rm\; q \in F \;$ y un $\rm\; b \in B \;$ tal que $\rm\; (q b r)^{1/d} \in F' \;$.

I. e. multiplicando el radicando por un $\rm\; q \;$ en el campo base $\rm\; F \;$ y un poder de producto $\rm\; b \;=\; q_1^{e_1/d_1}\cdots q_k^{e_k/d_k} \;$ podemos normalizar cualquier almacenaje de modo que denests en el campo definido por el radicando. E. g.

$$ \sqrt{\sqrt[3]5 - \sqrt[3]4} \;\;=\; \frac{1}3 (\sqrt[3]2 + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{25})$$ normaliza a $$ \sqrt{18\ (\sqrt[3]10 - 2)} \;\;=\; 2 + 2\ \sqrt[3]{10} - \sqrt[3]{10}^2 $$

Un ejemplo trivial $\rm\:b$

$$ \sqrt{12 + 5\ \sqrt 6} \;\;=\; (\sqrt 2 + \sqrt 3)\ 6^{1/4} $$

normaliza a

$$ \sqrt{\frac{1}3 \sqrt{6}\: (12 + 5\ \sqrt 6)} \;\;=\; 2 + \sqrt{6} $$

Aquí $\rm\; F=\mathbb Q,\ F' = \mathbb Q(\sqrt 6),\ n=2,\ B = \{1,\sqrt 6\},\ d=2,\ q=1/3,\ b= \sqrt 6\:$.

La estructura teorema también es válida para los complejos campos excepto que en este caso uno tiene que asumir que $\rm\; F \;$ contiene suficiente raíces de la unidad (que puede ser computacionalmente caro en la práctica, a ingenio doblemente exponencial de la complejidad).

Tenga en cuenta que la complejidad de incluso el más simple de los problemas que implican los radicales es actualmente desconocida. Por ejemplo, no polinomio tiempo el algoritmo es conocido para determinar el signo de una suma de real los radicales $\rm\; \sum{c_i\: q_i^{1/r_i}} \;$ donde $\rm\; c_i,\: q_i \;$ son números racionales y $\rm\; r_i \;$ es un entero positivo. Tales sumas juegan un papel importante en diversos problemas geométricos (por ejemplo, la Euclídea caminos más cortos y vendedor ambulante tours). Aunque a prueba la posibilidad de una suma de los radicales es cero puede ser decidido en el polinomio de tiempo, esto es de no ayudar en la determinación de la señal, sólo muestra que si el inicio de sesión la prueba está en $\rm\; NP \;$ entonces es ya en $\rm\; NP \cap \text{co-NP} \;$.

Answer 2

Perdona mi escepticismo, pero nadie tanto como breadboarded Blömer '92 o Landau '93 en todos estos 18 años? Por falta de la misma, la gente todavía publicar feo surdballs, por ejemplo, $$\vartheta _3\left(0,e^{-6 \pi }\right)=\frac{\sqrt[3]{-4+3 \sqrt{2}+3 \sqrt[4]{3}+2 \sqrt{3}-3^{3/4}+2 \sqrt{2}\, 3^{3/4}} \sqrt[4]{\pi }}{2\ 3^{3/8} \sqrt[6]{\left(\sqrt{2}-1\right) \left(\sqrt{3}-1\right)} \Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}$$ (J. Yi / J. Math. Anal. Appl. 292 (2004) 381-400, Thm 5.5 vi) en lugar de $$\vartheta _3\left(0,e^{-6 \pi }\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}+\sqrt{2} \sqrt[4]{3}+\sqrt{6}} \,\sqrt[4]{\pi }}{2\ 3^{3/8} \Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}\quad .$$ Y ¿por qué ambos documentos trote de la misma edad Ramanujan denestings en lugar de nuevos e interesantes? E. g., $$\sqrt{2^{6/7}-1}=\frac{2^{8/7}-2^{6/7}+2^{5/7}+2^{3/7}-1}{\sqrt{7}}$$ o $$\sqrt[3]{3^{3/5}-\sqrt[5]{2}}=\frac{2^{2/5}+\sqrt[5]{3}+2^{3/5} 3^{2/5}-\sqrt[5]{2}\, 3^{3/5}}{5^{2/3}}$$ o $$\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}\, 3^{3/4}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3}-1}}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{3}+\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}}{\sqrt[6]{2}}\quad ?$$ Estos resultados fueron encontrados por dos jóvenes estudiantes de la mina que le gustaría mucho saber los valores de p y b en Bill Dubuque estructura del teorema efecto de que el almacenaje $$\sqrt[3]{-\frac{106}{25}-\frac{369 \sqrt{3}}{125}+\frac{3 \sqrt{3} \left(388+268 \sqrt{3}\right)}{100 \sqrt[3]{2}\, 5^{2/3}}}=\frac{3}{5^{2/3}}-\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt[3]{10}}+\frac{1}{5} \sqrt[3]{2} \left(3+2 \sqrt{3}\right)\quad.$$ Gracias de antemano.

Answer 3

Sí. La primera cosa a hacer es intentar adivinar que $\sqrt[3]{ \left( \sqrt{ \frac{28}{27} } \pm 1 \right) } = \pm \frac{1}{2} + \sqrt{a}$ algunos $a$. Cubicación de ambos lados, a continuación, da

$$\frac{2}{9} \sqrt{21} \pm 1 = \pm \frac{1}{8} + \frac{3}{4} \sqrt{a} \pm \frac{3}{2} a + a \sqrt{a}.$$

Establecimiento $1 = \frac{1}{8} + \frac{3a}{2}$ da $a = \frac{7}{12}$, y podemos comprobar que

$$\frac{3}{4} \sqrt{a} + a \sqrt{a} = \frac{1}{8} \sqrt{21} + \frac{7}{72} \sqrt{21} = \frac{2}{9} \sqrt{21}$$

como se desee. Si este método no funciona, entonces el problema se vuelve más difícil.