Cardinalidad de $GL_n(K)$ cuando $K$ es finito

Question

No sé cómo hacer la última tarea de un ejercicio.

Sea $K$ sea un campo, $G=GL_n(K)$ y $X=K^n\backslash\{0\}$ .
Primera tarea: Demostrar que $G \times X \to X$ , $(A,x)\mapsto Ax$ define una acción de $G$ en $X$ . Hecho.
Segunda tarea: encontrar el estabilizador de $\displaystyle x=\left(\begin{eqnarray} 1\\ 0 \\ \vdots \\0 \end{eqnarray}\right)$ . Hecho.
Tercera tarea: Demostrar que sólo hay una órbita. Hecho.
Última tarea: Deja $|K|<\infty$ . Utiliza las dos últimas tareas y la inducción para encontrar $|G|$ .

Sé que $|G|=[G:St_G(x)]\cdot|St_G(x)|$ y sé que $[G:St_G(x)]=|\bar{x}|=m^n-1$ pero no puedo entender que $|St_G(x)|$ es.

¿Qué debo hacer ahora? Agradezco cualquier sugerencia :)

Answer 1

Creo que podemos cerrar la última parte así. Usted sabe que si $V=V_n(q)$ sea un espacio vectorial sobre el campo $F=GF(q)$ de dimensión $n$ entonces tenemos vectores $e_i, ~1\leq i\leq n$ tal que $$V=\langle e_1,e_2,...,e_n\rangle$$ Así que $|V|=q^n$ . De hecho, $V\cong F\times F\times...\times F$ $n$ veces. Y sabes que $$GL_n(q)=\{T\mid T:V\to V\ ~\text{where} T\text{are all invertible linear transformations}\}$$ Ahora toma $T\in GL_n(q)$ . ¿Cuál es el orden de $T(e_1)$ ? Obviamente es $q^n-1$ . ¿Qué será $T(e_2)$ ? Es claramente $q^n-q$ . De esta forma tendremos $T(e_n)=q^n-q^{n-1}$ . Esto le proporciona $$|GL_n(q)|=(q^n-1)(q^n-q)...(q^n-q^{n-1})$$

Answer 2

Parece que deberías haber terminado. Dijiste que encontraste el estabilizador de $x$ . ¿Qué es? ¿Cuál es su cardinalidad?

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He aquí un enfoque alternativo para averiguar $|G|$ .

Claramente, $|GL_1(K)|=|K|-1$ .

Para obtener un $2\times 2$ matriz invertible con entradas en $K$ exigimos que la primera columna sea un vector distinto de cero (hay $|K|^2-1$ tal), y una vez que hemos elegido un vector concreto para la primera columna, debemos elegir la segunda columna de forma que no sea un $K$ -múltiplo escalar de la primera columna (hay $|K|^2-|K|$ tales vectores). Por lo tanto, $$|GL_2(K)|=\bigl(|K|^2-1\bigr)\bigl(|K|^2-|K|\bigr).$$ Echa un vistazo a algunos casos más, y te darás cuenta del patrón que $$|GL_n(K)|=\prod_{i=0}^{n-1}\bigl(|K|^n-|K|^i\bigr).$$