Transversal de la intersección de múltiples submanifolds

Question

Deje $M$ ser suave, un colector y supongamos que tenemos tres (o más) submanifolds $N_1,N_2,N_3\subset M$.

¿Qué es el derecho a la noción de "transversal intersección" de $N_1,N_2,N_3$, es decir, ¿cuál es la débil condición tal que $$N_1\cap N_2\cap N_3\subconjunto M $$ un submanifold de codimension $$codim (N_1\cap N_2\cap N_3)=\sum_{i=1}^3codim N_i \quad? $$ Creo que de a pares transversal de la intersección $$\forall i\neq j: N_i\pitchfork N_j $$ no es suficiente.

Las referencias son también apreciados.

Answer 1

Por razones obvias, en lo que sigue voy a cambiar el nombre de la submanifolds $X_i$. Afirmo que la transversalidad puede ser reformulado en términos de la normal de paquetes de $N_i = N(X_i,M)$$X_i$$M$.

Iniciar con el caso de dos submanifolds $X_1$ $X_2$ de codimensions $k_1$$k_2$. Localmente (en $U\subset M$), que se da como el cero de un conjunto de funciones $f_i\colon U\to\mathbb R^{k_i}$ que tienen el máximo rango. Decir que $X_1\pitchfork X_2$ es decir que la función de $f=(f_1,f_2)\colon U\to\mathbb R^{k_1+k_2}$ tiene el máximo rango. (Esto se deduce fácilmente de la nulidad de rango teorema.) Ahora, geométricamente, el espacio normal de $X_i$ es generado por los vectores fila de a $Df_i$ (es decir, el gradiente de vectores de los componentes). Decir que $X_1\pitchfork X_2$ es decir que el gradiente de vectores de todas las funciones de los componentes de $f$ son linealmente independientes. Es decir, $N(X_1\cap X_2,M) = N(X_1,M)\oplus N(X_2,M)$.

Este punto de vista se generaliza a cualquier número de submanifolds: $X_1\cap X_2\cap X_3$ será un submanifold al $N_x(X_i,M)$ son linealmente independientes en $T_xM$ por cada $x\in X_1\cap X_2\cap X_3$. En este evento, $N(X_1\cap X_2\cap X_3,M) = N(X_1,M)\oplus N(X_2,M)\oplus N(X_3,M)$ rango $k_1+k_2+k_3$.

Answer 2

Deje $\{i,j,k\} = \{1,2,3\}$, entonces la cosa es más simple que se me ocurre es que

$N_i$ $N_j$ cruzan transversalmente, y $N_k$ cruza transversalmente $N_i \cap N_j$.

Aquí es un poco más débil condición. La afirmación de que dos colectores $N_1, N_2 \subset M$ cruzan transversalmente es equivalente a decir que el producto de la inclusión de $N_1 \times N_2 \to M \times M$ transversalmente cruza la diagonal $\Delta_M = \{ (p,p) : p \in M \} \subset M \times M$.

Así, uno podría preguntarse, ¿el producto de la inclusión $$ N_1 \times N_2 \times N_3 \subset M \times M \times M$$ transversalmente se cruzan las diagonales $$\Delta^3_M = \{(p,p,p) : p \in M \} \subset M^3 ? $$

Que también le da el resultado que estás buscando.

Answer 3

Tienes razón en que pares transversal de la intersección no es suficiente; pensar en tres distintos planos en $\mathbb{R}^3$, todos los que contienen la $z$-eje.

Ryan respuesta es una manera de dar un sensible condición.