Si $n$ es primo, entonces $2^n+1$ es compuesto?

Question

Al $2^n-1$ es el primer y $n>2$ $n$ es primo. Entonces, cuando $2^n-1$ es primo, ¿por qué $2^n+1$ es compuesto?

Lo que he hecho es este.

Supongamos $2^n+1$ es primo, entonces será contradicción.

Pero no puedo seguir más

Answer 1

$$x^{2m+1}+1=(x+1)(x^{2m}-x^{2m-1}+x^{2m-2}-\dots-x+1).$$ Por lo $2^n+1$ es divisible por $3$ id $n$ es impar (ya sea principal o no).

Por supuesto, esto también se puede encontrar con congruencias módulo $3$ , si usted nota $2\equiv -1\mod3$.

Answer 2

No es cierto. Un contraejemplo es $n=2$, cuando de $2^n-1=3$ $2^n+1=5$ son primos.

Que es el único contraejemplo, aunque; requiere de un Fermat primo y una prima de Mersenne con el mismo exponente, y el exponente en una de Fermat prime es siempre una potencia de 2, mientras que para un Mersenne prime es siempre el primer.