Teorema de Taylor con la forma de Peano del resto

Question

La siguiente forma del Teorema de Taylor con hipótesis mínimas no es muy popular y recibe el nombre de Teorema de Taylor con la forma de Peano del resto :

Teorema de Taylor con la forma de Peano del resto : Si $f$ es una función tal que su $n^{\text{th}}$ derivado en $a$ (es decir $f^{(n)}(a)$ ) existe entonces $$f(a + h) = f(a) + hf'(a) + \frac{h^{2}}{2!}f''(a) + \cdots + \frac{h^{n}}{n!}f^{(n)}(a) + o(h^{n})$$ donde $o(h^{n})$ representa una función $g(h)$ con $g(h)/h^{n} \to 0$ como $h \to 0$ .

Una de las pruebas (busque "Proof of Taylor's Theorem" en esta entrada del blog ) de este teorema utiliza la aplicación repetida de la regla de L'Hospital. Y parece que las pruebas del teorema anterior, aparte de la regla de L'Hospital, no son bien conocidas . He formulado esta pregunta para obtener otras pruebas de este teorema que no se basen en la regla de L'Hospital y que, en cambio, utilicen ideas más sencillas.

BTW también estoy publicando una prueba propia como wiki de la comunidad.

Answer 1

Demostraremos el resultado para $h \to 0^{+}$ y el argumento para $h \to 0^{-}$ es similar. La prueba está tomada de mi libro favorito Un curso de matemáticas puras por G. H. Hardy.

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Desde $f^{(n)}(a)$ existe se deduce que $f^{(n - 1)}(x)$ existe en alguna vecindad de $a$ y $f^{(n - 2)}(x)$ es continua en esa vecindad de $a$ . Dejemos que $h \geq 0$ y definimos otra función $$F_{n}(h) = f(a + h) - \left\{f(a) + hf'(a) + \frac{h^{2}}{2!}f''(a) + \cdots + \frac{h^{n - 1}}{(n - 1)!}f^{(n - 1)}(a)\right\}\tag{1}$$ Entonces $F_{n}(h)$ y su primer $(n - 1)$ Las derivadas se desvanecen en $h = 0$ y $F_{n}^{(n)}(0) = f^{(n)}(a)$ . Por lo tanto, si escribimos $$G(h) = F_{n}(h) - \frac{h^{n}}{n!}\{f^{(n)}(a) - \epsilon\}\tag{2}$$ donde $\epsilon > 0$ entonces tenemos $$G(0) = 0, G'(0) = 0, \ldots, G^{(n - 1)}(0) = 0, G^{(n)}(0) = \epsilon > 0\tag{3}$$ Desde $G^{(n)}(0) > 0$ se deduce que hay un número $\delta_{1} > 0$ tal que $G^{(n - 1)}(h) > 0$ para todos los valores de $h$ con $0 < h < \delta_{1}$ . Utilizando el teorema del valor medio y observando que $G^{(n - 1)}(0) = 0$ podemos ver que $G^{(n - 2)}(h) > 0$ para todos $h$ con $0 < h < \delta_{1}$ . Aplicando el mismo argumento repetidamente podemos ver que $G(h) > 0$ para todos $h$ con $0 < h < \delta_{1}$ . Así, $$F_{n}(h) > \frac{h^{n}}{n!}\{f^{(n)}(a) - \epsilon\}\tag{4}$$ para $0 < h < \delta_{1}$ . Del mismo modo, podemos demostrar que $$F_{n}(h) < \frac{h^{n}}{n!}\{f^{(n)}(a) + \epsilon\}\tag{5}$$ para todos $h$ con $0 < h < \delta_{2}$ .

Así, para cada $\epsilon > 0$ hay un $\delta = \min(\delta_{1}, \delta_{2}) > 0$ tal que $$\frac{h^{n}}{n!}\{f^{(n)}(a) - \epsilon\} < F_{n}(h) < \frac{h^{n}}{n!}\{f^{(n)}(a) + \epsilon\}\tag{6}$$ para todos los valores de $h$ con $0 < h < \delta$ . Esto demuestra el teorema para $h \to 0^{+}$ .

Hay que tener un ligero cuidado cuando se trata de valores negativos de $h$ para el caso $h \to 0^{-}$ porque aquí la naturaleza de las desigualdades dependerá de si $n$ es impar o par y por lo tanto necesitamos manejar ambos casos de par $n$ e impar $n$ por separado.

Answer 2

El siguiente argumento es para $n=2$ pero se puede ampliar a derivados más altos sin mucho dolor. Supongamos que $f:(\mathbb R\supseteq )D\to\mathbb R$ es dos veces diferenciable en $a\in D$ (abierto), entonces $f'$ existe en una vecindad (sin pérdida de generalidad llámela $D$ ), por lo que es integrable gauge (o Kurzweil-Henstock) (véase Lamoreaux & Armstrong (1998) para un debate de nivel universitario) y satisface \begin {ecuación} f(a+h)=f(a)+ \int_0 ^1 f'(a+th) \operatorname dt\, h. \end {equation} Diferenciabilidad de $f'$ en $a$ equivale a decir para todo $k:a+k\in D$ tenemos \begin {ecuación} f'(a+k)=f'(a)+f''(a)k+ \hat g(k) \text { donde } \frac { \hat g(k)}k=: \bar g(k) \to0 \text { como }k \to0. \end {Ecuación} Obsérvese que como $f'(a+k)$ , $f'(a)$ y $f''(a)k$ son integrables gauge en $k$ (el primero por el artículo citado y los dos últimos son integrables de Riemann) también $\hat g(k)$ es integrable gauge en $k$ . Tomando $k=ht$ en la primera ecuación vemos \begin {Ecuación} \begin {división} f(a+h)-f(a) &= \int_0 ^1f'(a)+f''(a)th+ \hat g(th) \operatorname dt\,h \\ &= f'(a)h+( \smallint_0 ^1t \operatorname dt)f''(a)h^2+ \int_0 ^1 \hat g(th) \operatorname dt\,h \\ &= f'(a)h+ \frac12f ''(a)h^2+g(h) \end {split} \end {ecuación} donde \begin {Edición} g(h):= h \int_0 ^1 \hat g(th) \operatorname dt = \int_0 ^h \hat g(k) \operatorname dk = \int_0 ^h \bar g(k)k \operatorname dk \end {ecuación} y $\bar g(k)\to0$ como $k\to0$ . El teorema de Taylor (como se indica en la pregunta) se desprende de \begin {Ecuación} \frac {g(h)}{h^2} \to0 \text { como }h \to0. \end {ecuación} Para ver esto, supongamos $\epsilon>0$ y que $\delta>0$ tal que $|\bar g(k)|<2\epsilon$ si $|k|<\delta$ y utilizar la monotonicidad para la integral gauge (resumida en Heikkilä (2011) ) para obtener \begin {Edición} g(h) \leq\frac {h^2} \epsilon \text { si } |h|< \delta. \end {Ecuación}

En el caso general (incluyendo éste) todo lo que necesitamos es la integrabilidad gauge de $f^{(n-1)}$ en un barrio de $a$ pero esto está garantizado por el hecho de que $f^{(n-1)}$ es la derivada de $f^{(n-2)}$ en todo ese barrio.

El concepto de integral gauge puede parecer sofisticado, pero en realidad es bastante elemental y mucha gente lo enseña a los estudiantes de segundo e incluso de primer año. A carta suscrito por muchos investigadores y profesores de análisis, en el que se pide una revisión del plan de estudios de cálculo "estándar", existe desde hace algunos años.