Encontrar una matriz que satisfaga un producto interior determinado

Question

Dejemos que $V=M_2(\mathbb{R})$
con $\left\langle A,B\right\rangle:=\text{tr}\left(AB^*\right)$
y que $A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{array}\right)$ encontrar $B\in M_2(\mathbb{R})$ tal que $B$ es ortonormal y ortogonal a $A$

Así que necesitamos los dos $||B||=1$ y $\text{tr}\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\right)\right)=0$

Así que tenemos $\sqrt{\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\right)}=1$

$a^2+b^2+c^2+d^2=1$ y $a-3b-2c+2d=0$ ¿cómo debo continuar?

Answer 1

Es bien sabido que el producto interior $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB^T)$ en $M_n(\mathbb R)$ es igual al producto interno habitual $\langle\operatorname{vec}(A),\operatorname{vec}(B)\rangle$ en $\mathbb R^{n^2}$ . Así que, esencialmente, sólo hay que encontrar un vector unitario en $\mathbb R^4$ que es ortogonal a $\mathbf a=\operatorname{vec}(A)=(1,-2,-3,2)^T$ . (Tenga en cuenta que la convención habitual para vectorizar una matriz es de columna mayor; por lo tanto, el segundo elemento de $\mathbf a$ es el segundo elemento de la primera columna de $A$ ). Como cada $\mathbf b\perp \mathbf a$ debe ser de la forma $\mathbf b=(2x+3y-2z,\ x,\ y,\ z)^T$ la solución general viene dada por $$ B=\frac1{\sqrt{(2x+3y-2z)^2+x^2+y^2+z^2}}\pmatrix{2x+3y-2z&y\\ x&z} $$ para cualquier número real $x,y,z$ con $x^2+y^2+z^2\ne0$ .

Answer 2

$||B||=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$ . $A\perp B=0\implies a-3b-2c+2d=0$ . Escoge $a,b,c,d$ de tal manera que $a=\sqrt{0.5}\cos\phi,b=\sqrt{0.5}\sin\phi,c=\sqrt{0.5}\cos\theta,d=\sqrt{0.5}\sin\theta$ para que el $1$ -La igualdad se cuida. Si elegimos $\theta,\phi$ de tal manera que $a=3b$ y $c=d$ hemos terminado. $\phi=\arctan\left({3^{-1}}\right)$ y $\theta={\pi\over4}$ hacer el trabajo.