Si $\sqrt{28x}$ es un número entero es $\sqrt{7x}$ siempre un número entero?

Question

Si $\sqrt{28x}$ es un número entero es $\sqrt{7x}$ un número entero? Tengo un libro que dice que no, pero no puedo pensar en un ejemplo de lo contrario... No se busca una plena prueba aquí que sólo quieren ver un contraejemplo o lógica mostrando que el libro está mal...

Answer 1

No puedo pensar en un ejemplo de lo contrario $\dots$ sólo quieren ver un contraejemplo

Sería $~x=\dfrac1{28}~$ satisfacer su curiosidad ?

Answer 2

Considere la posibilidad de la primera parte $\sqrt{28 \, x} = \pm n$, $n$ ser un entero. Entonces uno encuentra $$x = \frac{n^{2}}{28}.$$ Consideremos ahora la segunda parte $$\sqrt{7 \, x} = \sqrt{ \frac{7 \, n^{2}}{28} } = \sqrt{\frac{n^{2}}{4}} = \pm \frac{n}{2}.$$ Esto muestra que si $n$ no es incluso un valor, entonces el valor de $\sqrt{7 \, x}$ no es un número entero.

Answer 3

Tenga en cuenta que $\sqrt{28x}=\sqrt{4\times 7x}=2\sqrt{7x}$. Puede usted ver lo que podría suceder para que el $\sqrt{28x}$ es un número entero, mientras que $\sqrt{7x}$ es no?

Answer 4

Supongamos que x es un entero.

28 * x es siempre igual, desde el 28 * x = 2 * 14x.

La raíz cuadrada de un número, nunca es un número impar. (Compruebe que impar * impar = impar)

Así, si tomamos ejemplos donde x es un número entero, sqrt(28x) nunca es impar, y por lo tanto no existe ningún contraejemplo.

Por lo tanto x debe ser una fracción para encontrar un contraejemplo, (como 1/28 o 9/28).