El problema dice:
Supongamos que f es continua y $\lim_{x \to \infty} f(x)=a$. Probar que: $$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \int_{0}^{x}{f(t) dt}=a.$$
Indicación: La condición de $\lim_{x \to \infty} f(x)=a$ implica que el $f(t)$ está cerca de a $a$ algunos $ t\geq N$ para algunas N. Esto significa que $\int_{N}^{N+M} f(t) dt$ está cerca de a $Ma$. Si $M$ es grande en comparación a$N$, $Ma/(M+N)$ está cerca de a $a$
He encontrado una solución, pero es muy diferente en comparación a la mía.
Aquí es lo que yo hice: Deje $x= M+N$ donde $N$ es una constante. Así que el límite se convierte en $$\lim_{M \to \infty} \dfrac{1}{N+M} \int_{0}^{N+M}f(t)~ dt $$ La integral se puede dividir de la siguiente manera: $$\int_{0}^{N+M}f(t)~ dt=\int_{0}^{N}f(t)~ dt +\int_{N}^{N+M}f(t)~ dt $$ Podemos ir hacia atrás hasta el límite: $$\lim_{M \to \infty} \dfrac{1}{N+M} \left[ \int_{0}^{N}f(t)~ dt +\int_{N}^{N+M}f(t)~ dt \right] $$ Como N es una constante, la integral de la $ \int_{0}^{N}f(t)~ dt$ es también una constante. Entonces: $$\lim_{M \to \infty} \dfrac{1}{N+M} \int_{0}^{N}f(t)~ dt = 0 $$ Así que nuestro principal límite es ahora: $$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \int_{0}^{x}{f(t) dt}=\lim_{M \to \infty} \dfrac{1}{N+M} \int_{N}^{N+M}f(t)~ dt$$ Entonces, se desprende de las indicaciones que: $$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \int_{0}^{x}{f(t) dt}=\lim_{M \to \infty} \dfrac{1}{N+M} \int_{N}^{N+M}f(t)~ dt = a$$
Me gustaría saber si este es un enfoque válido. Especialmente si es válido para cambiar el límite con $x=N+M$; y si se trata de derecho a cancelar la integral de $0$ $N$ $N$es una constante.
