Si $x_0$ es una raíz real de $p(x)=x^4+a_3 x^3 + a_2 x^2 +a_1 x + a_0$$p'(x_0) \ne 0$. Qué $p(x)$ tiene al menos dos raíces reales?

Question

Si $x_0$ es una raíz real de $p(x)=x^4+a_3 x^3 + a_2 x^2 +a_1 x + a_0$$p'(x_0) \ne 0$. Qué $p(x)$ tiene al menos dos raíces reales?

No sé lo que sería una buena forma de resolver esto. Algún consejo?

Edit: estoy en cálculo 1 y este debe mi respuesta probablemente no debería asumir cosas sobre las cosas, desde el álgebra acerca de las raíces de polinomios.

Answer 1

Desde $x_0$ es una raíz de $p$$p'(x_0)\neq 0$, tiene multiplicidad $1$. Por lo tanto $p(x)=(x-x_0)q(x)$ donde $q$ tiene el grado $3$ $x_0$ no es uno de sus raíces.

Desde $q$ tiene el grado $3$ tiene una raíz real $x_1\neq x_0$, y listo.

Answer 2

Observe que $\lim_{x\to\infty}p(x)=\lim_{x\to-\infty}p(x)=\infty$. Si $p(x)$ cruces $x$-eje de una vez se debe hacer por lo menos dos veces.

Answer 3

Raíces complejas siempre son complejas conjugadas pares. Ahora desde su polinomio es de grado 4, esto significa que se debe tener cuatro raíces. Ya hay 3 restantes desconocido raíces ($x_0$ dado para ser real) sólo hay espacio para un par si es que lo hay, por tanto, una de las otras tres raíces debe ser real también. La condición de $p'(x_0)\neq 0$ también se descarta la posibilidad de que el otro raíz de ser igual a $x_0$ ya que la curva no sería tangente a la $x$-eje

Answer 4

Hay varias maneras, por ejemplo:

• Como $(x-x_0)$ divide $p$ usted tiene: $$p(X)=(X-x_0) Q(X)$$ donde $Q$ es un polinomio de grado $3$. Pero cualquier polinomio de grado $3$ como una raíz real y $x_0$ no es una raíz de $Q$.
• Como $p(x_0)=0$ $p'(x_0)=0$ sabe que el signo de $p$ de cambio cerca de $x_0$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que para algunos $\epsilon >0$, $p(x)< 0$ para $x \in (x_0-\epsilon,x_0)$. Por lo $p(x_0-\epsilon)<0$ pero $\lim_{x \to - \infty} p(x)=+\infty$. Así que como $p$ es continua, existe $x_1 \in (-\infty,x_0-\epsilon)$ tal que $p(x_1)=0$.

Answer 5

He aquí una más elementales de la prueba. Si $ z=a+bi \in \mathbb{C} $ se denota el complejo conjugado por $ \overline{z} = a - bi $. Denotamos las raíces de $ p(x) $ $ x_0, x_1, x_2, x_3 $ donde $ x_0 \in \mathbb{R} $ $ x_i $ son los otros ceros - posiblemente complejas.

Ahora usted puede comprobar por sí mismo que para cualquier par de números complejos la siguiente se tiene: \begin{align*} \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \\ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \end{align*} Esto significa que para cualquier número complejo a $ z $ hemos \begin{align*} \overline{p(z)} = \overline{z^4 + a_3z^3 + a_2z^2 +a_1z+a_0} = \overline{z}^4 + a_3 \overline{z}^3 + a_2\overline{z}^2 + a_1\overline{z} +a_0 = p(\overline{z}) \end{align*} Esto implica que cada vez que tenemos alguna raíz de $ z_0 $$ p $, $ \overline{z_0} $ también es una raíz de $ p $. De ahí raíces complejas vienen en pares.

Ahora podemos deducir su deseada de la declaración. Si cualquiera de $ x_1, x_2, x_3 $ es real, hemos terminado (porque $ x_0 $ es una sola raíz). Si wlog $ x_3 $ es complejo, por lo que es wlog $ x_2 $. Ahora $ x_1 $ no puede ser complejo, porque de lo contrario $ x_0 $ también sería comlex. Por lo tanto $ x_1 $ debe ser real. Desde $ p'(x_0) \neq 0 $, $ x_0 $ debe ser una sola raíz, en particular, $ x_1 \neq x_0 $ es otro de los grandes de la raíz de $ p $.