Son funciones que toman los valores $\pm \infty$ ¿se considera sin límites?

Question

He leído algunos fragmentos de análisis (algunos, Sakarchi y Stein, Tao). En general, si $f(0) = +\infty$ y $\forall (x \not = 0) |f(x)|<10$ , lo haría $f$ ¿se puede llamar acotado o no acotado?

Tal vez, de forma más general, ¿cualquier función en los números reales extendidos se considera no limitada? ¿O solemos decir que todas son acotadas, porque están acotadas por $+ \infty$ ?

Answer 1

Se me ocurren dos definiciones de limitación que podrían utilizarse aquí.

Acotamiento en conjuntos ordenados, donde un conjunto está acotado si existe un elemento mayor o igual a cada elemento del conjunto, y lo mismo para los menores.

Este concepto es inútil en los reales extendidos, ya que todos los conjuntos estarán acotados.

Acotamiento en espacios métricos, donde un conjunto está acotado si puede estar contenido en una bola.

Los reales extendidos no son un espacio métrico para la métrica habitual sobre los números reales, pero existen métricas que lo convierten en un espacio métrico. Pero entonces la distancia de $-\infty$ a $\infty$ debe ser algún número finito, y toda la línea real extendida debe estar contenida en una bola de este radio (cualquier métrica sensata sobre los reales extendidos debería tener estos dos números más alejados entre sí).

De nuevo, el concepto de acotación carece de interés, ya que todos los conjuntos son acotados.

En general, si alguien habla de que los conjuntos son acotados, asumo que se limita a la definición de acotamiento en los reales.

Sin embargo, para tu ejemplo, si restringimos a los reales la función no estará definida en $0$ por lo que estaría acotado en su dominio. Así que para decir que es ilimitado tendríamos que definir específicamente lo que queremos decir con ilimitado en los reales extendidos de tal manera que cualquier cosa que contenga $\infty$ sería ilimitado.