Estoy buscando algunas aplicaciones interesantes de ultrafilters y también todo lo que de interés que afectan a los ultrafilters. ¿Sabes que algunas aplicaciones o cosas interesantes que involucran ultrafilters?
Estoy en el principio, así que prefiero algunas de las aplicaciones que también un principiante podría leer.
Mi favorito uso de ultrafilters es para la definición de ultralimits. La página de la wikipedia explica bastante bien, pero básicamente te permite extender la noción de convergencia de las secuencias de los números reales, por ejemplo), de tal manera que cada delimitada secuencia converge, y estos límites de respeto sumas.
Usted puede utilizar ultralimits para hacer afirmaciones precisas como "exactamente la mitad de los números enteros no son uniformes, y un tercio de ellos son múltiplos de tres". Usted puede hacer esto mediante la definición de una "medida" μ sobre los enteros con las siguientes propiedades:
μ es una función de conjuntos de números enteros a [0,1]
μ(Z)=1
μ(A∪B)=μ(A)+μ(B) para distintos conjuntos de A,B⊂Z
μ es la traducción de todos los idiomas, es decir μ(A)=μ(n+A) todos los n∈Z
Esta medida se mide la "proporción" de cada subconjunto de Z. Para definir esto, nos gustaría hacer algo como la toma de la proporción de mayores intervalos que forman parte del conjunto:
μ(A)=lim
Esto funciona bien para tener el conjunto de los números pares se \frac{1}{2}, pero este límite no siempre existen (por ejemplo, si A es el conjunto de números cuyo primer dígito es 1).
Así, la solución: Utilizar un ultrafilter! Escoge un ultrafilter, y el uso de la correspondiente ultralimit en lugar del límite de la definición anterior de \mu. Ahora converge para todos los A, ya que cada secuencia de números en [0,1] converge en un ultralimit! La invariancia bajo la traducción es bastante fácil de ver, y la aditividad finita de la siguiente manera a partir de la suma de ultralimits. Así que hemos definido a algo muy cercano a una uniforme distribución de probabilidad sobre los números enteros, y todo lo que tomó fue el axioma de elección.
En realidad se puede hacer este truco para formar una medida sobre cualquier grupo que es susceptible, pero entrar en una discusión de estos grupos probablemente sería ir un poco off-topic aquí.
Algunas de las mejores aplicaciones sé de venir de la teoría de Ramsey.
La idea inicial es fácil de presentar, y es posible que usted se haya encontrado ya: Revisión de un conjunto infinito contable A. El infinitary versión del teorema de Ramsey dice que cualquier gráfico de G=(A,E) A como conjunto de vértices contiene una copia completa de la gráfica en countably muchos vértices, o de lo contrario, contiene una copia de el vacío gráfico (es decir, sin bordes) en countably muchos vértices. Una pregunta natural es cual de los dos casos se produce realmente. Uno quisiera decir que si la gráfica tiene un "gran" número de aristas, a continuación, contiene una copia completa de la gráfica, y si se carece de un número "grande", entonces debe contener una copia de la vacía gráfico. Esta noción de la magnitud puede ser hecha precisa mediante la introducción de un no-director de ultrafilter {\mathcal U}A. Asociados a {\mathcal U} hay un ultrafilter {\mathcal U}^2 en el conjunto de [A]^2 de todas las posibles aristas entre los vértices de A. De hecho, una prueba que si E\in{\mathcal U}^2, A contiene una copia completa de la contables gráfico, y lo mismo para el otro caso. Usted probablemente está familiarizado con la caracterización de Ramsey ultrafilters que viene desde el fortalecimiento de esta noción de grandeza.
Esta prueba de Ramsey del teorema es en realidad el comienzo de una muy fructífera interacción entre la teoría de la ultrafilters (a través del estudio de Stone-Cech compactifications) y la teoría de Ramsey. El estándar de referencia es el libro más bonito:
N. Hindman y D. Strauss, el Álgebra en el Stone-Cech compactification: teoría y aplicaciones , de Gruyter, Berlín, 1998.
El libro comienza en un nivel básico, y puede ser utilizado para auto-estudio. Si desea una rápida introducción a algunas de las ideas que se utilizan aquí, recomiendo el artículo de Andreas Blass, "Ultrafilters: Donde Dinámica Topológica = Álgebra = Combinatoria" (Topología de Proc. 18 (1993) 33-56). El documento está disponible en Andreas de la página web.
Ultrafilters puede también ser utilizado para demostrar el teorema de imposibilidad de Arrow. En la prueba, que muestran que un cierto conjunto de subconjuntos de S, el conjunto de los votantes es un ultrafilter.
Ahora, si la base del conjunto es finito, esto implica que el ultrafilter que es lo principal, y por lo tanto de un dictador existe. Esto le da a usted la Flecha del teorema.
Por otro lado, si usted debilitar la hipótesis de Flecha del teorema de a uno donde hay infinitamente muchos votantes, entonces, suponiendo la existencia de un no-director de ultrafilter, hay un teorema que las conclusiones de la Flecha del teorema no se sostienen.
La prueba de la Flecha del teorema es el último problema en el capítulo sobre ultrafilters en \omega en el libro Problemas y Teoremas Clásicos de la Teoría de conjuntos por Komjáth y Totik. De hecho, que el capítulo tiene un buen montón de problemas en ultrafilters y sin la teoría es necesaria para leer. Los problemas, sin embargo, son a veces muy duro!
Una colección de entradas de blog sobre el tema:
La aplicación que primero me atrajo (y que dio lugar a las publicaciones de mi blog anterior) es que ultrafilters puede ser usado para demostrar el teorema de compacidad en la lógica de primer orden, así como el teorema de Tychonoff.
Tal vez la más conocida de la aplicación se encuentra en diferentes ultraproduct construcciones exployed en nonstardard análisis. A continuación son pareja muy accesible introducciones:
Hatcher: Cálculo es el Álgebra. AMM, 1982.
van Osdol: la Verdad con relación a un ultrafilter. AMM, 1972.
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