Encuentra el $x$ valor para cuando la expresión toma el valor mínimo

Question

Sea $E(x)=\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2-8x+25}.$ Encuentra el $x$ para cuando esta expresión toma su valor mínimo.

Usar la derivada es bastante difícil... y creo que no indicado para este problema... He pensado en usar la desigualdad de medias. Primero, reescribir:

$E(x)=\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2-8x+25}$ como $E(x)=\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x-4)^2+9}$ ..

Pero no sé cómo continuar...

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \sqrt{\left(x-1\right)^2+4}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(0-\left(-2\right)\right)^2} $$ es exactamente la distancia entre el punto $A:\left(x,0\right)$ y punto $B:\left(1,-2\right)$ y que $$ \sqrt{\left(x-4\right)^2+9}=\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(0-3\right)^2} $$ es exactamente la distancia entre el punto $A:\left(x,0\right)$ y punto $C:\left(4,3\right)$ . Por lo tanto, usted debe encontrar algún punto $A$ en el $x$ -tal que $$ d(A,B)+d(A,C) $$ se minimiza (es decir, se minimiza la distancia total de los segmentos rojos en la figura siguiente), donde $d(A,B)$ denota la distancia entre los puntos $A$ y $B$ .

Afortunadamente, es obvio que, como $A$ cae sobre el segmento azul discontinuo, la distancia total es testigo de su mínimo, ya que este segmento azul discontinuo arroja la distancia mínima entre los puntos $B$ y $C$ . Debido a la desigualdad triangular, cualquier otra posición de $A$ haría $$ d(A,B)+d(A,C)>d(B,C). $$ Por lo tanto, la propia $A$ que minimiza la distancia total debe ser el punto del segmento azul discontinuo. Entonces, combinado con el hecho de que $A$ es un punto del $x$ -eje, este $A$ no tendría más remedio que ser $\left(11/5,0\right)$ .

Answer 2

Usando la desigualdad de Minkowski: $$\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x-4)^2+9}=\\ \sqrt{(x-1)^2+2^2}+\sqrt{(4-x)^2+3^2}\ge \\ \sqrt{(x-1+4-x)^2+(2+3)^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}.$$ La igualdad se produce cuando $(x-1,2)||(4-x,3)$ Eso es: $$\frac{3}{2}(x-1)=4-x \Rightarrow x=\frac{11}{5}.$$