Cuando es un Wess-Zumino plazo bien definido?

Question

De acuerdo a wikipedia, una de Wess-Zumino término está bien definido cuando la Mentira de grupo (espacio de destino) $G$ es compacta y simplemente conexa, porque eso implica que $\pi_2(G)$ es trivial. Pero hay Mentira grupos con trivial $\pi_2(G)$ que no son simplemente conectado (por ejemplo, $S^1$). Es $S_\mathrm{WZ}(G)$ bien definido en tal caso? Es un trivial $\pi_2(G)$ necesaria y suficiente, o sólo es necesario? Si no es suficiente, entonces ¿cuál es la condición suficiente en $G$ para admitir un WZW modelo?

En un segundo pensamiento, parece que la página de la Wikipedia contiene un par de declaraciones engañosas. Por ejemplo, se dice que el $\pi_2(G)$ es trivial debido a que $G$ es simplemente conectar; pero, como se ha mencionado por el usuario gj255 en la sección de comentarios, $\pi_2(G)$ es trivial para cualquier $G$, simplemente conectado o no. Por otra parte, en la sub-sección Topológico obstrucciones, Wikipedia afirma que $kS_\mathrm{WZ}(G)$ está bien definido si $k\in\pi_3(G)$, por lo que parece que la homotopy grupo es el tercer lugar de la segunda. Si esto es correcto, entonces yo diría que la $kS_\mathrm{WZ}(S^1)$ sólo está bien definido en el nivel cero (debido a que $\pi_3(S^1)=\{0\}$), y por lo tanto no es de Wess-Zumino plazo para tal objetivo en el espacio. Es esto correcto? De manera más general, es $kS_\mathrm{WZ}(G)$ bien definida si y sólo si $k\in\pi_3(G)\neq\{0\}$?

Answer 1

Es malo para el estudio de la homotopy grupos para clasificar WZW términos porque no estamos interesados en la esférica spacetimes.

Deje $X$ ser el destino de espacio y $M$ una cerrada arbitraria spacetime $n$-colector equipado con un mapa de $\sigma:M \to X$. Deje $\omega$ ser un cerrado $(n+1)$-forma en $X$ con el entero de períodos.

Si $\sigma$ es nulo homotópica, podemos extender el cono $\hat\sigma:CM \to X$, el cual es definido por formar el prisma $M \times [0,1]$ y el colapso de uno de los extremos a un punto. Entonces podemos definir $$WZW(M,\sigma) = \exp 2\pi i \int_{CM} \hat \sigma^*\omega.$$ Y debido a que $\omega$ está cerrado y tiene entero de periodos, esto puede ser demostrado ser independiente de la extensión de $\hat \sigma$.

Es muy importante que esta definición que podemos extender $\sigma$ el cono. La condición es una homológica: tenemos necesidad de $\sigma_* [M] = 0 \in H_n(X,\mathbb{Z})$ donde $[M]$ es la clase fundamental de $M$. Si $H_n(X,\mathbb{Z}) = 0$, entonces siempre estamos en el negocio.

Tenga en cuenta que recientemente hubo algunos casos de estudio de sigma modelo topológico de términos procedentes de cobordism que era bastante interesante: https://arxiv.org/abs/1707.05448 . Se explica lo que ocurre con el theta el ángulo que uno espera en un 2+1D teoría de la con $X = S^2$$\pi_3 S^2 = \mathbb{Z}$.