Ir fuera de esta pregunta: ¿existe una clasificación general de homología de 5 esferas?
Si esto es demasiado ambicioso, ¿qué pasará cuando restringimos simplemente conectados a la homología de 5 esferas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como ya se mencionó, no simplemente conectado caso es desesperado.
La reclamación. Si 5-dimensional simplemente se conecta el colector de $W$ ha integral de homología de la esfera, la esfera (en cualquier categoría topológica, PL o suave).
Prueba: hay una clase fundamental $o: W \to K(\Bbb Z, 5)$. Podemos suponer que el 5-esqueleto de la $K(\Bbb Z, 5)$ $S^5$ y que la imagen de $o$ se encuentra en ella (por celular aproximación). $o': W \to S^5$ es una homología de equivalencia, ambos espacios son simplemente conectado CWs y por el teorema de Whitehead es homotopy de equivalencia. Generalizado de la conjetura de Poincaré se asentaron en la dimensión $5$ en todas las categorías, por lo $W$ es de la esfera.
Sin embargo, hay racional de la homología de las esferas en la dimensión 5, yo. e. 5-colectores $W$ con racional de homología de una esfera y $H_2(W, \Bbb Z) = H_3(W, \Bbb Z)$ - algunos finito abelian grupo; denota por $T$. Creo que el primer ejemplo conocido fue el de Wu colector $SU(3)/SO(3)$$T = \Bbb Z/2$. Usted puede obtener una gran cantidad de ejemplos en tal manera: tomar 2 grado Moore espacio de cualquier finito grupo abelian $T$. Es simplemente conectado 3-complejo, tan embebido en $\Bbb R^6$. El encolado de dos copias de tubulares en los barrios de la incrustación juntos podemos obtener spin racional de homología de la esfera con $H_2 = T^2$. Ejemplos son, de hecho, buena, pero la clasificación es mejor; hay uno.
Si tenemos suave simplemente conectado 5-colector $M$, hay tres más evidente invariantes: $H_2(M, \Bbb Z) = \Bbb Z^r \oplus T$, la evaluación en el segundo Stiefel-Whitney clase $w: H_2 \to \Bbb Z/2$ y torsión de emparejamiento $b: T \times T \to \Bbb Q / \Bbb Z$.
Lo que hay de bueno en la dimensión $5$ es que es lo suficientemente alto para que todos pwoerful técnicas de cirugía son aplicables, lo suficientemente bajo como para no contienen todavía todas horrible (pero hermoso) cosas como exótico esferas, y $5$ es impar, así que no hay problemas relacionados con la conexión en medio de homología.
Teorema (Barden, 1965) [B] . Simplemente se conecta suave colectores son clasificados por $w$ $b$ (i. e. cada resumen isomorfismo entre el $H_2$'s de la preservación y de vinculación $w$ es realizado por diffeomorphism).
La prueba se realiza por cirugía y bastante fácil.
Observación. Sesgar degenerada de emparejamientos en la torsión de los grupos se clasifican por homomorphism $w': T \times T \to \Bbb Z/2$, $x \mapsto b(x, x)$ - es sencillo de álgebra lineal. También, es bastante fácil demostrar que $b(x, x) = w(x)$ si $\Bbb Z/2$ 2-torsión en $\Bbb Q/\Bbb Z$ (AFAIR, es un teorema de la Pared) Poniendo a estos en conjunto, vemos que en realidad sólo necesitamos $w$ en la clasificación de 5-colectores, debido a que el emparejamiento en la homología es recuperado a partir de ella.
[B] D. Barden, Simplemente se conecta cinco colectores, Ann. de Matemáticas. (2) 82 (1965).
Eric Towers
Puntos
8212
Su primera pregunta parece no tener esperanza dada Kervaire del resultado que cualquier finitely presentado, perfecto grupo que tiene trivial segundo (grupo) homología es el grupo fundamental de un buen homología $n$-esfera para $n > 4$.
Su segunda pregunta mata esta construcción (ya que requieren $\pi_1$ trivial ahora). Me imagino que podría cambiar Kervaire de la construcción de la a a $\pi_2$ $\pi_3$ en la misma manera como uno puede usar Eilenberg-MacLane a cabo un grupo en cualquier $\pi_i$, pero no he pensado en todos los detalles a través de.
Edit: me imaginaba erróneamente. xsnl's respuesta explica la situación para simplemente conectado homología 5-esferas. (Un esqueleto de que la respuesta también está presente como comentarios a esta respuesta.)
También, he corregido el enlace al grupo de homología.
