Puesto simplemente, el de la lógica modal son útiles en cualquier momento que desee a la razón acerca de las verdades que son, bueno, modal. El ejemplo que dio contrastes de primer orden de la lógica modal y la lógica, pero un punto de partida común es la construcción de la lógica modal sobre proposicional de la lógica.
Una de las características de modal, la lógica es que el operador modal, a menudo escrito $\Box$, no es verdad funcional. Desde una variable proposicional $P$ sólo puede ser verdadero o falso, sólo hay dos funciones de verdad que podemos aplicar para: la identidad de la función (es decir, sólo $P$) y la negación (es decir, $\lnot P$). (En realidad, podríamos aplicar también "false en todas partes" y "verdadero en todas partes" funciones, pero estas no son particularmente interesantes aquí.) Ahora, si $P$ representa la proposición "yo estoy usando un sombrero," entonces no hay nada acerca de la lógica del contenido de la proposición que hace que sea necesariamente verdadera o falsa, aunque, por supuesto, lo que realmente debe ser verdadera o falsa en un momento dado. Si me preguntan, "¿es lógicamente necesario que yo estoy usando un sombrero de ahora," probablemente diría que no, incluso si en este momento yo soy, de hecho, llevaba un sombrero. Simbólicamente, es probable que afirman tanto $\lnot\Box P$$P$. No es difícil ver que podría ser a la inversa y se podría afirmar tanto $\lnot\Box P$ así como $\lnot P$. $\Box \phi$ es una fórmula cuyo valor de verdad no es una función de la verdad de $\phi$. No puede haber una relación entre el valor de verdad de algunos $\phi$ y el valor de verdad de $\Box\phi$ (por ejemplo, para contradictorias $\phi$, se podría esperar que $\phi$ si y sólo si $\lnot\Box\phi$, y para tautologous $\phi$ que $\phi$ si y sólo si $\Box\phi$). Estos tipos de consideraciones que llevan a las personas a diferentes axiomatizations de la lógica modal.
Cuando el operador modal se interpreta como algo distinto de la necesidad, la diferencia es aún más acusada. Por ejemplo, en deontic logic el operador modal $\Box$, que a veces se escribe"$O$, se interpreta como la obligación; es decir, $O\phi$ significa que "es obligatorio que las $\phi$" o "debería ser el caso de que $\phi$." Esto puede ser usado para formalizar y de la razón sobre la consistencia y las consecuencias de las teorías éticas. La mayoría de los axiomatizations de alethic lógica modal incluyen el teorema de que $\Box P \to P$, es decir, que si $P$ es necesario, a continuación, $P$ también debe ser cierto (¿cómo podría no ser?). Como nuestras experiencias de vida, nos dicen, sin embargo, no es el caso que sólo porque algo debe ser cierto, que es verdad, por lo $OP \to P$ no tiene, en general, en deontic logic.
Con respecto a tu ejemplo, que se inició en la lógica de primer orden (ya que se considera la posibilidad de hacer valer $\exists x.(x^2 = 2)$), vamos a considerar algunos de los diferentes fórmulas que implican $\exists x$, $x^2 = 2$, y $\Diamond$ (que a menudo es tomado como una abreviatura de $\lnot\Box\lnot$). Desde $x$ es una variable, tenemos que cuantificar sobre él, todos los tres de estas fórmulas incluyen una cuantificación existencial.
\begin{gather}
\exists x.(x^2 = 2) \\
\Diamond \exists x.(x^2 = 2) \\
\exists x.\Diamond(x^2 = 2)
\end{reunir}
Bajo el alethic de interpretación, donde $\Box$ es una necesidad lógica y $\Diamond$ es la posibilidad lógica, la primera, $\exists x.(x^2 = 2)$, dice que pasa a ser el caso que hay un $x$ tal que $x^2 = 2$, pero no hace ninguna declaración acerca de si es o no es lógicamente necesario o no. Como en la mayoría de alethic modal, la lógica nos permitirá inferir que si $P$ es necesario, a continuación, $P$ debe ser cierto, que también permitirá que los si $P$ es verdadera, entonces el $P$ es posible. En estos lógica, por lo menos sabemos que $\exists x.(x^2 = 2)$ es lógicamente posible.
La segunda dice que es lógicamente posible que hay un $x$ tal que $x^2 = 2$, pero no hace ninguna declaración acerca de si existe o no, en realidad es un $x$. El hecho de que es posible, al menos, implica que no es lógicamente necesario que no hay un $x$.
La tercera es probablemente la más sutil de las tres frases, y la interacción entre los de primer orden a la cuantificación y operadores modales permite una gran variedad de interpretaciones, pero dice que eso suceda a ser verdad que hay un $x$ (de modo que podemos, de hecho, señala, no es sólo una posibilidad existente de la cosa; en realidad existe aquí) que es lógicamente posible que $x^2 = 2$.
Con matemáticamente orientado sentencias, la distinción entre necesidad lógica y la verdad puede volverse borrosa, porque tendemos a pensar en la matemática verdades como lógica necesidades. (Les demostramos que , lógicamente, después de todo, ¿verdad?) Sin embargo, si vas hacia atrás y considerar las oraciones
\begin{gather}
\exists p.\mathit{wearingHat}(p) \\
\Diamond \exists p.\mathit{wearingHat}(p) \\
\exists p.\Diamond\mathit{wearingHat}(p)
\end{reunir}
usted puede encontrar la diferencia esclarecedor. La primera dice que el hombre está usando un sombrero, el segundo, que no podría ser un hombre que lleva un sombrero, la tercera que hay un hombre que podría ser usar un sombrero. Ahora a tratar de la misma con el deontic interpretación donde $\Diamond$ es sustantiva. La primera dice lo mismo, que algún hombre se llevaba un sombrero, el segundo, que su permisible que hay un hombre que llevaba un sombrero, y la tercera dice que algún hombre en particular es permitido usar un sombrero!
Con respecto a su edición acerca de si $\Box$ es la cuantificación sobre los modelos: la semántica de Kripke para la lógica modal viene muy cerca de la cuantificación sobre los modelos. En la semántica de Kripke para la lógica modal, hay un conjunto de mundos posibles $\cal W$ y un distinguido mundo,$w_0$. Cada mundo ofrece una interpretación para la que no modal frases. (Es decir, si estamos en un proposicional, lógica modal, cada mundo tiene una verdad de asignación. Si estamos en una de primer orden, lógica modal, cada mundo tiene de primer orden de la interpretación, y así sucesivamente.) También hay una relación binaria $R$ $\cal W$ llama la accesibilidad de la relación. Al $R(x,y)$, podemos decir que el $y$ es accesible desde $x$. En este marco jurídico, $\Box\phi$ que es verdad en un mundo $w$ si y sólo si $\phi$ (sin las $\Box$) es verdadera en todo mundo accesible desde $w$. $\Diamond\phi$ es cierto en $w$ si y sólo si $\phi$ que es verdad en algún mundo accesible desde $w$. Diferentes modal axiomas implican diferentes condiciones en $R$ o, alternativamente, una estructura en $R$ implica que los diferentes modal teoremas de espera. Por ejemplo, la fórmula
$$ \Box P \to P \tag{K} $$
que generalmente es aceptado en alethic lógica (si algo es lógicamente necesario, entonces es cierto), significa que $R$ debe ser reflexivo (es decir, $R(w,w)$ por cada mundo,$w$). Puede usted ver por qué?
