Rango de una función, con restricción contradictoria

Question

Tengo esta función:

$$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$

está claro que el dominio son todos los números reales, porque el denominador nunca se hace cero. He hecho el siguiente procedimiento para encontrar el rango de $f(x)$ :

$\operatorname{Rec} f=\left \{{y\in \mathbb{R}:\exists x\in \operatorname{Dom} f,y=f(x)} \right \} \\ \operatorname{Rec} f=\left \{{y\in \mathbb{R}:\exists x\in \mathbb{R},y=\dfrac{x}{x^2+1}} \right \} \\ \operatorname{Rec} f=\left \{{y\in \mathbb{R}:\exists x\in \mathbb{R},x=\dfrac{1\pm \sqrt{1-4y}}{2y}} \right \} \\ \operatorname{Rec} f=\left \{{y\in \mathbb{R}:\left (1-4y^2 \right )\geq 0\, \wedge\, y\neq 0 } \right \}\\ \operatorname{Rec} f=[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]-\left \{ 0 \right \}$

Pero, la función es cero cuando $x=0$ $(f(0)=0)$ y el rango de la función es $[-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}]$ . Así que no sé dónde está mi error en el procedimiento.

Answer 1

Tienes la ecuación $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ que luego se simplificó a $x^2y + y - x = 0$ . Entonces, resolviendo esto para $x$ le da $\frac{1 \pm \sqrt{1-4y^2}}{2}$ ...lo cual está bien, muy bien, hasta que...

Si $y = 0$ entonces lo anterior no es ni siquiera una cuadrático ¡ecuación, por lo que no se puede abordar a través de la fórmula cuadrática! En su lugar, debes tratar este caso por separado, estableciendo $y = 0$ , lo que da $x = 0$ .

Moraleja de la historia (real): La fórmula cuadrática se aplica sólo cuando el coeficiente cuadrático es distinto de cero . De lo contrario, dicha cuadrática se simplifica a una ecuación lineal (posiblemente, incluso mejor) que puede resolverse.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(0) = 0$ y $f(x)\to0$ como $x\to\infty$ y $f(x)>0$ cuando $x>0,$ y $f$ es continua en todas partes. Esto implica que como $x$ va de $0$ a $\infty,$ entonces $f(x)$ debe subir de $0$ y finalmente volver a bajar a $0.$ Así, $f$ tiene un máximo absoluto en algún lugar a la derecha de $0.$ Y $f(x)$ debe asumir todos los valores intermedios entre $0$ y ese máximo.

Siguiente: $$ \frac x {x^2+1} = \overbrace{ \frac 1 {x + \frac 1 x} = \frac 1 {\left( x - 2 + \frac 1 x \right) + 2} }^\text{This is a sort of completion of the square} = \frac 1 {\left( \sqrt x - \frac 1 {\sqrt x} \right)^2 + 2}. $$ Esto es igual a $1/2$ cuando la plaza es $0;$ en caso contrario, es inferior a $1/2.$

Así, $f$ mapas $[0,\infty)$ a $[0,1/2].$

Desde $f$ es una función impar, por lo que mapea $(-\infty,0]$ a $[-1/2,0].$

Answer 3

Tienes que $\operatorname{Ran} f= \{0\}\cup\{y: y\neq 0\}$ . Lo que hiciste fue resolver para el caso $y \neq 0$ . Todo lo demás está bien con su solución.

Answer 4

Has perdido el punto $0$ del rango al aplicar la fórmula cuadrática. Supone implícitamente que se trata de una cuadrática. La solución de $$ax^2 + bx + c = 0$$ es $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$ proporcionado $a \neq 0$ . Si $a = 0$ entonces esta ecuación se convierte en lineal, y la fórmula cuadrática se convierte en un sinsentido.

Answer 5

$$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$

Como la función es una función impar $(f(x)=-f(-x))$ entonces el valor mínimo es igual al opuesto del valor máximo. Vemos que $f(x) \ge 0$ cuando $x \ge 0$ por lo que tenemos que encontrar el valor máximo de $f(x)$ cuando $x \ge 0$ .

Tenga en cuenta que $\dfrac 12 - f(x) = \dfrac 12 - \dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{x^2+1-2x}{2(x^2+1)} = \dfrac{(x-1)^2}{2(x^2+1)}$

Así, cuando $x \ge 0$ vemos que $\dfrac 12 - f(x) \ge 0$ y, cuando $x=1$ vemos que $\dfrac 12 - f(x) = 0$ .

Desde $\dfrac 12 - f(x) \ge 0 \iff f(x) \le \dfrac 12$ y $f(1)= \dfrac 12$ vemos que $\displaystyle \max_{x \ge 0} f(x) = \dfrac 12$ . Por lo tanto, porque $f(x)$ es una función impar, $\operatorname{Range} f(x) = \left[ -\dfrac 12, \dfrac 12 \right]$