Por qué no puedo encontrar todas las soluciones de esta ecuación? $\sin{3x}+\cos{2x}-\sin{x}=1$

Question

$x$ tiene que ser en $[0,\pi]$

Lo he intentado

$\sin{3x}+\cos{2x}-\sin{x}=1$

$\sin{3x}-\sin{x}=1-\cos{2x}$

$2\sin{x}\cos{2x}=1-(\cos^2{x}-\sin^2{x})$

$2\sin{x}\cos{2x}=\sin^2{x}+\cos^2{x}-\cos^2{x}+\sin^2{x}$

$2\sin{x}\cos{2x}=2\sin^2{x}$

$\cos{2x}=\sin{x}$

$\cos{2x}=\cos{\dfrac{\pi}{2}-x}~~\Longrightarrow~~2x=\dfrac{\pi}{2}-x+2k\pi~~\lor~~2x=x-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$

$x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}~~~~(k\in\mathbb{Z})~~(1)~\lor~x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi~~~~(k\in\mathbb{Z})~~(2)$

$(1):~~k=0~\Longrightarrow~x=\dfrac{\pi}{6},~~~~~~k=1~\Longrightarrow~x=\dfrac{5\pi}{6}$

Pero $0$ $\pi$ son soluciones también. Por qué no puedo encontrar a $0$$\pi$?

Answer 1

Su idea es correcta, excepto cuando simplificar $\sin x$ en

$$2\sin{x}\cos{2x}=2\sin^2{x}$$

Una buena forma es:

$$2\sin{x}\cos{2x}-2\sin^2{x}=0$$

$$(\sin x)(2\cos{2x}-2\sin{x})=0$$

lo que te dan

$$\sin x=0$$ o

$$2\cos{2x}-2\sin{x}=0$$

entonces, resolver ecuaciones y obtener la solución completa.