$$x^{1/3}+x^{1/6}-2=0\iff (x^{1/6}-1)(x^{1/6}+2)=0$$ $\iff x^{1/6}=1$ o $x^{1/6}=-2$
$\implies x=1^6=1$ o $x=(-2)^6=64$
Comprobando cuando $x=64$:$\sqrt[3]{64}+\sqrt[6]{64}-2=4+2-2=4\ne0$
Que paso provocó la solución extraña $x=64$ a aparecer
Respuestas
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David K
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Bristol
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Voy a tomar el algebrista del enfoque de este.
La regla general es algo como esto: en una ecuación de $L = R$ donde $L$, $R$ son arbitrarios, hay dos tipos generales de pasos:
1. Rearraging un lado
Si usted tiene una ecuación $$ L = R $$ entonces usted puede convertirse en $$ L' = R $$ mientras $L$ $L'$ son equivalentes. Usted puede hacer lo mismo en el lado derecho, por supuesto. Este cubre cosas tales como la multiplicación de fuera de los soportes o de tomar un común denominador de las fracciones.
En su caso, de la reescritura de $x^{1/3} + x^{1/6} - 2$ $(x^{1/6} + 2)(x^{1/6} - 1)$ es un paso.
Este tipo de paso es siempre buena.
2. La aplicación de una función de $f$ a ambos lados.
Imagina que tienes una ecuación de $x - 2 = 3$. Lo normal es que "añadir 2 en ambos lados", lo que en realidad estamos haciendo es aplicar la función de $f(T) = T + 2$ en ambos lados (*1):
$$ \begin{array}{rrcl} & x - 2 & =& 3 \\ \Rightarrow & f(x-2) &=& f(3) \\ \Rightarrow & x - 2 + 2 &=& 3 + 2 \\ \Rightarrow & x &=& 5 \end{array} $$
El último paso es un "reordenamiento" paso en ambos lados.
Los dos ejemplos más comunes de este caso se $f(T) = T + C$ $f(T) = TC$ donde $C$ es cualquier número (con la excepción de $0$, en el segundo caso), que corresponde a la suma/resta y multiplicación con un número para simplificar la ecuación.
Tenemos varios casos de esta técnica:
- Si $f$ es bijective (invertible), este tipo de paso es siempre buena. $f(T) = T + 2$ es bijective: su inversa es $f^{(-1)}(T) = T - 2$.
Si $f$ no es bijective, el paso está permitido, pero con precaución, ya que puede causar más soluciones, o perder algunas soluciones (*2).
El ejemplo clásico de la obtención extra de soluciones es la aplicación de $f(T) = T^2$ $x = 2$conseguir $x^2 = 4$ que tiene dos soluciones $2$$(-2)$. Por el contrario, la aplicación de $f(T) = \sqrt T$ $x^2 = 4$consigue $x = 2$, perdiendo el negativo de la raíz.
En su caso, la aplicación de $f(T) = T^6$ fue el no bijective función.
(EDITAR - agregar esto para evitar la posible confusión) La función a la que se aplique puede contener en sí la variable $x$. Por ejemplo, en la ecuación de $x + 1 = 2x$ desea "restar un $x$ en ambos lados" con $f(T) = T - x$ conseguir $1 = x$. Esta función tiene el inverso $f^{(-1)}(T) = T + x$, cualquiera que sea el valor de $x$, por lo que este paso está bien.
El lugar para tener cuidado es cuando tienes algo como $$ \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} $$ La función obvia (*3) para elegir es $f(T) = Tx$ conseguir $1 = x + 1$. Si $x$ no $0$, entonces esta función tiene una inversa $f^{(-1)}(T) = T/x$, mientras que si $x$ resulta ser $0$ - como en este caso - a continuación, se han multiplicado por $0$, lo que está permitido, pero no muy útil, ya que las ganancias de una solución extraña.
Así que si su función consiste en un $x$, por lo que es necesario comprobar si se tiene una inversa de cualquier posible $x$, y si no, a continuación, compruebe los casos, cuando no de nuevo al final.
En este caso, si se hace un gráfico de $1/x$ $(x+1)/x$ verás que no se cruzan de modo que no puede haber soluciones de esta ecuación; alternativamente, usted podría hacer un reordenamiento de paso para conseguir $1/x = 1 + 1/x$ y luego a la conclusión de que nada puede nunca igual a sí mismo más de uno, o de aplicar la función de $f(T) = T - 1/x$ conseguir $0 = 1$, lo que también muestra que no hay soluciones.
Más notas
Hay, por supuesto, también no-técnicas generales que usted necesita para resolver ciertos tipos de ecuaciones, como la división de $(x-a)(x-b) = 0$ en dos ecuaciones $x-a=0$$x-b=0$.
(*1) los Expertos en teoría de grupos son bienvenidos a gemir algo acerca de la falta de un paso que involucren asociativo de la ley aquí.
(*2) Para ser más precisos, se puede ganar o perder soluciones si la función no es bijective en el dominio que se está resolviendo la ecuación, en este caso los reales. El problema con $\sqrt T$ es que ni siquiera está definido en todos los reales, que es lo que pierde en algunas soluciones.
(*3) Alternativamente, usted puede elegir directamente a $f(T) = Tx - 1$ a hacer "dos pasos a la vez". Pero eso no lo enseñan en las escuelas.
Adrian Keister
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Cybolic
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Lo que realmente está pasando aquí no tiene nada per se que hacer con las raíces, al contrario de lo que uno podría sospechar. Si tomamos la primaria de la definición de los poderes racionales (positivos de poder integral de cualquier real $x$ es reiterada de un producto y de la raíz de algunos no negativo real $x$ es un número que multiplicado repetidamente un número determinado de veces da $x$), luego en $\mathbb R$ $64$ es perfectamente válido (y la única solución de) $x^{1/6}=-2$ desde $(-2)^6=64$ (esto significa, simplemente, $64$ es el único número real de uno de sus sexto raíces es $-2$).
Lo que ha faltado aquí es el hecho de que para cualquier $a,b\in\mathbb R$ si $ab=0$, $a=0$ o $b=0$. Es nuestra deficiente comprensión de la naturaleza de la O en la lógica matemática, que es la causa de la confusión aquí. O no significa tanto $a$ $b$ debe desaparecer; por el contrario, significa que o bien sólo uno de ellos es $0$, O (de nuevo) ambos de ellos son. De tal manera que no siempre se garantiza que ambos son cero. Es suficiente que exactamente uno de ellos. En la costumbre de los casos, cuando vamos a resolver ecuaciones cuadráticas por factorización, ambos factores hacen, de hecho, llegar a ser cero, pero que no es necesario en general. Es porque estamos acostumbrados a este hecho fortuito cuando las variables son simples y sin adornos (es decir, no representan a algunos expresión matemática distinta de la simple identidad de la función de la variable) que pensamos que cada formal de la ecuación de segundo grado, deben comportarse del mismo modo, pero esta es una lógica de fundamento a la expectativa.
En este caso, la única solución de la ecuación original es $1$, como se puede ver fácilmente por el trazado de su gráfica.
Así que el problema es simplemente la interpretación lógica. Algunos hábitos de vida normal (error de juicio) son difíciles de borrar, y son especialmente reforzado por las escuelas, la mayoría de los que enseñan matemáticas mecánicamente.
PS. Creo que esto nos enseña la importancia de la comprobación de si las posibles soluciones son de hecho las soluciones, especialmente en los casos donde no estrictas condiciones como la "si $ab=0$, $a=0$ o $b=0$" se utilizan, sobre todo cuando no simples funciones de los desconocidos están involucrados.
