distribución de la probabilidad

Question

Esta es una pregunta muy básica, y tal vez un tonto, pero creo que estoy luchando para entender la actual definición de una distribución de probabilidad.

En Wasserman "Todo de Estadísticas", por ejemplo, dice que "si $\Omega$ es finito y si cada resultado es igualmente probable, entonces $\mathbb{P}(A) = |A| / |\Omega|$, lo que se llama la uniforme distribución de probabilidad."

Esto sugiere a mí que una distribución de probabilidad, se refiere específicamente a la probabilidad de medida seleccionada, es decir, una distribución de probabilidad es la medida asociado con una probabilidad del espacio. Sin embargo, en Wikipedia y en otros lugares en línea, una distribución de probabilidad sólo está definida dentro del contexto de alguna variable aleatoria, por ejemplo, "Una distribución de probabilidad es una función que describe los valores posibles de una variable aleatoria y sus asociados probabilidades". Así que mi pregunta es, es una distribución de probabilidad de la medida en un espacio determinado, o es el pdf/pmf de una determinada variable aleatoria? Cuando decimos que "dibuje una variable aleatoria" a partir de una distribución de probabilidad, eso no significa que construir una variable aleatoria a partir de un determinado espacio de probabilidad con que la probabilidad de medir, o que nuestra variable aleatoria tiene que pdf/pmf? Es esta una distinción significativa?

Answer 1

"Una distribución de probabilidad es una especificación de la estructura estocástica de una variable aleatoria." (Suave, Álgebra De Matrices, Chapt. 9)

Dicho esto, sí, estás en lo correcto al suponer que en términos de distancias en la teoría de la probabilidad, la medida de $P$ $A$ es lo que se llama medida de probabilidad o distribución de probabilidad de la ley, o de distribución de probabilidad. (Aquí se $A$ es el conjunto de todos los subconjuntos medibles de $\Omega$ donde $\Omega$ sí es el espacio muestral.) (Ver, Deza & Deza, Enciclopedia de las Distancias, Chapt. 14)

Por lo tanto, creo que la respuesta a la pregunta "¿qué es una distribución de probabilidad" depende del contexto de que la frase se utiliza. Para la mayoría de los aplicados a los efectos de, por ejemplo,"el dibujo de una variable aleatoria" a partir de una distribución de probabilidad que asociamos con nuestros datos, utilizando el concepto de la variable de disponer de un determinado PMF/PDF es perfectamente adecuada; nadie explícitamente define un espacio de probabilidad, pero sólo alude indirectamente a la misma, asumiendo una determinada distribución de probabilidad. Esto es en realidad lo que se hace computacionalmente demasiado; durante la generación de números aleatorios en la mayoría de los casos, ya sea a través de la inversa de la CDF de una distribución o a través de algún compuesto de esquema (por ejemplo, el rechazo de muestreo) aplicamos un particular PMF/PDF en nuestra muestra. Matemáticamente, aunque, sí, necesitamos el concepto de medida $P$ en un espacio dado para definir una variable aleatoria.

Hay un excelente hilo sobre ¿por qué necesitamos σ -álgebras para definir la probabilidad de espacios? que preguntas más el mecanismo de alrededor de un espacio de probabilidad. En esa medida, las Matemáticas.SE tiene también algunos muy tópicos relevantes en la diferencia entre la densidad y la distribución [formal en términos matemáticos] y la diferencia entre "función de densidad de probabilidad" y "función de distribución de probabilidad".

Answer 2

Una distribución de probabilidad $\mathbb{P}$ se define como una medida positiva en un espacio medible ${\cal X}$ $\sigma$- álgebra ${\cal A}$ y el total de la misa, $\mathbb{P}({\cal X})=1$. Es naturalmente asociado con una variable aleatoria en la que cada variable aleatoria tiene una distribución de probabilidad y que, dada una distribución de probabilidad, siempre se puede construir una variable aleatoria con esta distribución de probabilidad. Para citar Terry Tao 254A, Notas 0: Una revisión de la teoría de la probabilidad, una variable aleatoria es una medibles a transformar en un espacio muestral $\Omega$ dotado de una distribución de probabilidad $(\Omega,{\cal B},\mu)$$\mu(\Omega)=1$, sobre un conjunto ${\cal X}$:

Definición 3 (variable Aleatoria) Deje $R = (R,{\mathcal R})$ ser un espacio medible (es decir, un conjunto $R$, equipado con un $\sigma$-álgebra de los subconjuntos de a ${\mathcal R}$). Una variable aleatoria toma valores en $R$ (o una $R$valores de variable aleatoria) es un medibles mapa de $X$ de la muestra espacio para $R$, es decir, una función de$$X: \Omega \rightarrow R$$que $X^{-1}(S)$ es un evento para todas las $S \in {\mathcal R}$.

(aunque no considero que la medición de la $R$ necesario para la definición, ya que ${\mathcal R}=X(\mathcal B)$ se define automáticamente como la transformada $\sigma$-álgebra). Y

Lema 4 (la Creación de una variable aleatoria con una distribución especificados) Deje $\mu$ ser una medida de probabilidad en un espacio medible $R = > (R,{\mathcal R})$. Luego (después de extender el espacio muestral {\Omega} si necesario) existe una $R$valores de variable aleatoria $X$ con distribución $\mu$.