Confusión extraña y extraña de la solución

Question

Me vino a la pregunta de James Stewart "Cálculo de Principios Trascendentales" acerca de la diferencia implícita diciendo que:

Encontrar todos los puntos de la curva de $x^2y^2+xy=2$, donde la pendiente de la línea tangente es $-1$

Después de diferenciación implícita llegué a $$y'x(2xy+1)+y(2xy+1)=0\tag{1}$$ $$(2xy+1)(y'x+y)=0$$ A continuación, $xy=\frac{-1}{2}$ o $y'=\frac{-y}{x}$

Pero por pluging $xy=\frac{-1}{2}$ en las ecuaciones originales llegamos $$x^2y^2+xy=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\ne2$$ Así, llegamos a la conclusión de que $xy=\frac{-1}{2}$ es una solución extraña. A continuación, lo que la hizo ser así ?? Q1

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También, se podría empezar a partir de la ecuación de $(1)$ para llegar a ese $$y'=\frac{-y(2xy+1)}{x(2xy+1)} \tag{2}$$ Necesitamos la tangente a ser $-1$. Por lo comparamos $y'=-1$ $$\frac{y(2xy+1)}{x(2xy+1)}=1$$ Ahora multiplique por $x(2xy+1)$ conseguir $$y(2xy+1)=x(2xy+1)$$ Ahora estoy con miedo a dividir por $2xy+1$ a fin de no obtener una solución de falta. [Es sabio, no para dividir ?? Q2 Cuando para eliminar el factor común del numerador y el denominador y no tiene miedo de la falta de soluciones ?? Q3]

Así que, me resta RHS-LHS para obtener $$y(2xy+1)-x(2xy+1)=0$$ Factorización por agrupación $$(y-x)(2xy+1)=0$$

Ahora hemos llegado a nuestro resultado $y=x$. Lamentablemente, junto con la solución extraña. Se multiplica por el denominador de la ecuación racional, $(2)$ es la causa de que el segundo aspecto de la solución extraña ?? T4

Answer 1

Después de diferenciación implícita llegué a $$y'x(2xy+1)+y(2xy+1)=0\tag{1}$$ $$(2xy+1)(y'x+y)=0$$

Este es correcta. Ahora, en lugar de resolver esto por $y'$, usted podría simplemente sustituto $y'=-1$, ya que esto es lo que quieres, y agregar la ecuación de la curva para obtener el siguiente sistema: $$\left\{\begin{array}{rcl} \left(\color{red}{2xy+1}\right)\left(\color{blue}{y-x}\right) & = & 0 \\ (xy)^2+xy & = & 2 \end{array}\right.$$ Usted necesita considerar tanto las ecuaciones ya que usted está buscando puntos:

• en la curva (es decir, que satisface la segunda ecuación);
• y con la correcta pendiente (es decir, satisface la primera ecuación).

Ahora, a partir de la primera ecuación tiene $\color{red}{xy=-\tfrac{1}{2}}$ o $\color{blue}{y=x}$. Que decir de este primer caso corresponde a una "solución extraña", pero no es una solución, ya que no hay puntos acostado en la curva de satisfacer esta ecuación. Las soluciones son solamente los puntos de satisfacer ambas ecuaciones.

La sustitución de $y=x$ en la segunda ecuación conduce a $x=\pm 1$ lo que lleva a las dos soluciones correctas, es decir, los puntos de $(1,1)$$(-1,-1)$.

Answer 2

$$ x ^ 2y ^ 2 + xy-2 = 0 $$

Llamando $ z = xy \ Rightarrow z ^ 2 + z-2 = (z +2) (z-1) = (xy +2) (xy-1) = 0 \ Rightarrow \ left \ {\begin{array}{rcl} xy +2 & = & 0\\ xy - 1 & = & 0 \end { array} \ right. $

Adjuntamos un diagrama de$(xy+2)(xy-1) = 0$ en rojo$xy+2=0$ y en azul$xy-1 = 0$

Por lo tanto, la tangencia debe determinarse sobre$xy-1=0$ con dos soluciones para$x = \pm 1$

Answer 3

Estás pensando en eso.

Empezar con

ps

Establecer$$ (2xy+1)(y'x+y)=0 $:

ps

Entonces$y'= -1$ y / o$$ (2xy+1)(-x+y)=0 $.

$(2xy+1)=0$ siempre es una solución, ya sea$(-x+y)=0$ o no. Como x, y son reales, la condición y nunca se cumple.

Si$x=y$ entonces$(2xy+1)=0$ puede tener algún valor y no le dice nada sobre$(2xy+1)=0$

Ahora conecta$(y'x+y)$ a la ecuación original para resolver los puntos.

Espero que esto ayude.

Sección de la economía