Consideremos la categoría de funtores exactos a la izquierda entre dos categorías abelianas. ¿Es esta categoría abeliana? Mi intuición es que no lo es. ¿Alguien tiene algún contraejemplo? ¿O alguna prueba de que estoy equivocado? Creo que tendremos problemas con los coconúcleos...
Aquí hay un ejemplo donde $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ falla en tener conúcleos en los que $\mathcal{B}$ no es co-completo. Presumiblemente también hay ejemplos donde $\mathcal{B}$ falla en ser una categoría de Grothendieck de otras maneras.
Además, estoy lejos de estar convencido de que no hay ejemplos mucho más simples que este.
Sea $R$ un álgebra de dimensión contable sobre un campo $k$, y sea $\mathcal{A}$ la categoría de módulos $R$ de dimensión (a lo sumo) contable. Sea $\hat{\mathcal{B}}$ la categoría de espacios vectoriales sobre $k$ y $\mathcal{B}$ la subcategoría de espacios vectoriales de dimensión (a lo sumo) contable.
Observa que si $X$ es un módulo finitamente generado sobre $R$, entonces es un objeto de $\mathcal{A}$ y $\text{Hom}_R(X,-)$ es un objeto de $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\mathcal{B})$.
Si $0\to X\to Y\to Z$ es una secuencia exacta en $\mathcal{A}$, entonces $$\text{Hom}_R(Z,-)\to\text{Hom}_R(Y,-)\to\text{Hom}_R(X,-)\to0$$ es una secuencia exacta en $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\hat{\mathcal{B}})$, o en $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ si $X, Y$ y $Z$ son todos finitamente generados, ya que si $F$ es otro funtor izquierdo exacto, entonces (por el lema de Yoneda) tomar mapas en $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\hat{\mathcal{B}})$ a $F$ de la secuencia da la secuencia exacta $$0\to F(X)\to F(Y)\to F(Z).$$
Si elegimos $0\to X\to Y\to Z$ tal que $Y$ y $Z$ son finitamente generados pero $X$ no lo es, y $\text{Hom}_R(X,A)$ tiene dimensión incontable para algún objeto $A$ de $\mathcal{A}$, entonces parece razonable esperar que no haya un conúcleo de $\text{Hom}_R(Z,-)\to\text{Hom}_R(Y,-)$ en $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\mathcal{B})$, aunque haya un conúcleo, es decir $\text{Hom}_R(X,-)$, en $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\hat{\mathcal{B}})$.
Aquí hay un ejemplo donde puedo probar que no hay conúcleo. Sea $R=S(V)$, el álgebra simétrica sobre un espacio vectorial de dimensión contable $V$.
Sea $J$ el ideal generado por $V$ y $Y\to Z$ el mapa natural $R\to R/J$. Entonces $\text{Hom}_R(J,R/J)$ tiene dimensión incontable, al ser naturalmente isomorfo a la dual $V^\ast$ de $V$. El conúcleo de $\text{Hom}_R(Z,-)\to\text{Hom}_R(Y,-)$ en $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\hat{\mathcal{B}})$ es $\text{Hom}_R(J,-)$. Supongamos que existe un conúcleo $C$ en $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\mathcal{B})$. Entonces hay un mapa natural $\text{Hom}_R(J,-)\to C$, el mapa universal a un objeto de $\mathbf{Lex}(\mathcal{A},\mathcal{B})$.
Para cada espacio vectorial de dimensión finita $U
Pero para cada elemento no nulo $\varphi\in V^\ast$, hay algún espacio vectorial de dimensión finita $U
Gracias por tu respuesta, ¿crees que debería preguntar en MO si hay un contraejemplo más simple?
@Sov Sí, ¿por qué no? Por cierto, aquí hay otra idea que pensé. ¿Es la categoría de funtores exactos a la derecha de una pequeña categoría abeliana $\mathcal{A}$ a $\mathbf{Ab}$ siempre abeliana? Si no, entonces los funtores exactos a la izquierda $\mathcal{A}^{op}\to\mathbf{Ab}^{op}$ no formarán una categoría abeliana. $\mathbf{Ab}^{op}$ no es una categoría de Grothendieck porque no tiene límites directos exactos y no satisface las condiciones de Swan porque no tiene envolturas inyectivas. Parece que esto no funcionará con espacios vectoriales en lugar de grupos abelianos, ya que las condiciones de Swan sí se mantienen.
Este es realmente un comentario en lugar de una respuesta. Solo quería dar un enlace a mi respuesta en MathOverflow https://mathoverflow.net/questions/299014/is-the-category-of-left-exact-functors-abelian, que contiene un ejemplo que muestra que la categoría de funtores exactos a la izquierda $\mathcal A^{op}\to (k{-}\mathrm{vect})^{op}$ no necesita ser abeliana, cuando $\mathcal A$ es una categoría abeliana pequeña (realmente pequeña) y $k{-}\mathrm{vect}$ es la categoría de espacios vectoriales sobre un campo $k$.
Edición: esta no es la respuesta correcta. Sin embargo, decidí dejarla aquí porque algunas personas pensaron que era buena. Explicaciones en los comentarios.
Encontré una solución aquí enlace de MathOverflow. Al principio no entendí, así que intenté hacerlo más claro.
Sean $\mathcal{A,B}$ dos categorías abelianas. Queremos probar que la categoría $\mathbf{Lex(\mathcal{A,B})}$ de funtores exactos por la izquierda no es abeliana. Se puede verificar que los biproductos, los núcleos y el objeto cero aún existen. El problema viene de los cocúrteles.
Trabajemos en $\mathbf{Mod_R}$. Consideramos la transformación natural $\alpha : \text{Hom}(Y,\_) \Rightarrow \text{Hom}(X,\_)$ relacionada con un morfismo $f:X \rightarrow Y$. Hay que notar que $\alpha$ no es más que la transformación natural $\text{Hom}(f,\_)$. Consideremos $\beta : \text{Hom}(X,\_) \Rightarrow K$ el cocúrterl de $\alpha$ que se calcula punto por punto. Queremos probar que $K$ no preserva monomorfismos, lo que implicará que no es un funtor exacto por la izquierda. Para esto, consideremos un monomorfismo $g:A \rightarrow B$. Luego, por la naturalidad, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:
Hom(Y,A) \arrow[r,"\alpha_A"] \arrow[d," {Hom(Y,g)} "] & Hom(X,A) \arrow[r,"\beta_A"] \arrow[d," {Hom(X,g)} "] & KA \arrow[d,"Kg"] \ Hom(Y,B) \arrow[r,"\alpha_B"] & Hom(X,B) \arrow[r,"\beta_B"] & KB
(perdón, no sé cómo hacerlo aquí, normalmente uso tikzcd)
Dado que $KA$ es el cocúrterl de $\alpha_A$, es el cociente de $\text{Hom}(X,A)$ por la imagen de $\alpha_A$. En otras palabras, $KA$ es el conjunto de morfismos de $X$ a $A$ que no se factorizan a través de $f$. De la misma manera, $KB$ es el conjunto de morfismos de $X$ a $B$ que no se factorizan a través de $f$, y $Kg : v \mapsto g \circ v$. Para probar que $K$ no preserva monomorfismos, queremos encontrar $g$ tal que $Kg$ envíe un morfismo no nulo a cero. Para ello, tomamos el anillo $R=k[X]$ como un anillo de polinomios, $X=A$, $Y=B$ y $f=g: (X) \hookrightarrow k[X]$ que es un monomorfismo no dividido, es decir, no hay $h:B \rightarrow A$ tal que $h\circ f=Id_A$. En este caso, la identidad $Id_A \in KA$ es un elemento no nulo pero $(Kf)(Id_A)=f$ es un elemento cero ya que se factoriza a través de $f$. Esto demuestra que $K$ no es exacto por la izquierda y por lo tanto el cocúrterl de $\alpha$ en $\mathbf{Lex(\mathcal{A,B})}$ no existe en general.
Nota: En su tesis, Gabriel demostró que bajo condiciones más fuertes la categoría $\mathbf{Lex(\mathcal{A,B})}$ es abeliana. De hecho, si las categorías $\mathcal{A,B}$ son abelianas y $\mathcal{B}$ tiene generadores y límites inductivos exactos, entonces la categoría $\mathbf{Lex(\mathcal{A,B})}$ es abeliana. Un ejemplo particular que se usa a menudo en esta tesis (y otros trabajos) es la categoría $\mathbf{Lex(\mathcal{A},Ab)}$.
Esta es la tercera vez que se ha publicado esta respuesta incorrecta (otros dos la publicaron y luego la borraron). Esto muestra que $\mathbf{Lex(\mathcal{A,B})}$ no está cerrado bajo cokérneles como una subcategoría de la categoría de todos los funtores aditivos de $\mathcal{A}$ a $\mathcal{B}$. No demuestra que un cokérnel en $\mathbf{Lex(\mathcal{A,B})}$ no exista. (De hecho, el hecho de que $\mathbf{Lex(\mathcal{A,Ab})}$ sea abeliano contradice directamente tu conclusión.)
@Sov No, la respuesta en MO es para una pregunta diferente (los funtores representables son proyectivos en la categoría de todos los funtores aditivos, pero ¿son proyectivos en la categoría de funtores exactos por la izquierda? La respuesta siendo "no").
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Solo para registrar un poco de información, los funtores exactos de la izquierda $A\to\mathbf{Ab}$ son completos y cocompletos cuando $A$ es pequeño, porque son una subcategoría reflectante de todos los funtores aditivos $A\to\mathbf{Ab}$. Pero estoy bastante seguro de que la reflexión no es exacta y por lo tanto no está del todo claro para mí si esta categoría es abeliana.
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@KevinCarlson La categoría de funtores exactos a la izquierda $A\to\mathbf{Ab}$ es abeliana para $A$ una pequeña categoría abeliana. Esto se utiliza en la prueba del teorema de incrustación de Freyd-Mitchell. Pero las pruebas que conozco utilizan propiedades de $\mathbf{Ab}$ que no son ciertas para una categoría abeliana general. Por ejemplo, la prueba en el "Álgebra de la $K$-teoría" de Swan utiliza que la categoría de funtores aditivos $A\to\mathbf{Ab}$ es cocompleta, bien-potenciada y tiene envolventes inyectivos.
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@JeremyRickard Parece que puedes reemplazar Ab con cualquier categoría de Grothendieck (Prop. 5 en el segundo capítulo de Des Catégories Abéliennes de Gabriel) para obtener resultados similares, pero sí, esa prueba también se basa en las suposiciones adicionales declaradas.