¿Adjunto izquierdo de la suma directa?

Question

En la categoría de espacios vectoriales, ¿existe algún endofunctor $F$ satisfaciendo $$\mathrm{Hom}_k(M,\underset{i \in I}{\bigoplus} k) \cong \mathrm{Hom}_k(F(M),k)$$ para cada $k$ -espacio vectorial $M$ ?

Answer 1

No. $M = k$ y que $I$ ser contable. Entonces el LHS tiene dimensión contable, pero el RHS es un espacio vectorial dual, y los espacios vectoriales duales sólo pueden tener dimensión finita o incontable.