Simple prueba de que no hay isomorfismo entre dos de $ Aut(\hat{C}) $(Esfera de Riemann),$ Aut(H^+) $(mitad superior del plano) y $ Aut(C) $

Question

Refiriéndose a los grupos de automorfismos (holomorphic bijections) de los respectivos dominios.

Esta es una tarea problema. Es un curso básico, tan sofisticadas, las respuestas pueden no ser de ayuda (que tiene una solución sencilla según mi maestro). Además, se ve como un problema de Álgebra, pero me han asegurado que existe una solución en análisis complejo, así que si alguien puede dar una sin la prueba de álgebra, que será apreciado. Traté de construir un conformal mapping (entre dos de los dominios), utilizando un supuesto isomorfismo, también el cálculo de la unidad de raíces (de segundo grado, y algunos de grado superior) en cada uno de los grupos, y un par de ideas más, pero no hubo suerte. Gracias de antemano por su ayuda (y lo siento por mi pobre inglés).

Edit:La pregunta fue editado para evitar sofisticado algebraicas respuestas. Por favor, sólo utilizar los muy básicos de álgebra en la solución. Es un complejo ejercicio de análisis! (por supuesto, si usted sólo desea compartir un sohpisticated respuesta que pueden ayudar a otros usuarios, de bienvenida.)

Answer 1

$L(C)$ es solucionable, los otros dos no lo son.

${\rm PSL}(2,\mathbb{C})$ contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{R}^2$, ${\rm PSL}(2,\mathbb{R})$ no.

Answer 2

En $Aut(\mathbb{C})=L(\mathbb{C})$, el producto de dos elementos de orden $7$ no puede ser de orden $3$. En $Aut(H^+) \le Aut(\bar{\mathbb{C}})$ se puede.

En el hiperbólico la mitad de modelo de avión ($H^+$) toma un triángulo equilátero $ABC$ con ángulos $\frac{2\pi}7$. Deje $a$ $b$ ser el rotaciones $A$$B$, respectivamente, por el ángulo de $2\pi/7$. A continuación, $a^{-1}b$ mueve $ABC$$CAB$, lo $a^{-1}b$ es de orden $3$.

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En $Aut(\bar{\mathbb{C}})$ hay dos elementos de orden $2$ cuyo producto también es de orden $2$: sólo toma tres diámetros perpendiculares de la esfera y considerar las reflexiones acerca de ellos. Por ejemplo, $z\mapsto -z$ $z\mapsto \frac1z$ son de orden 2, y su composición es $\frac{-1}z$.

$Aut(H^+)$ consiste orientado isometrías de la mitad de modelo de avión y todos los elementos de orden 2 son reflexiones acerca de los puntos. Si usted toma dos reflexiones acerca de dos puntos distintos, decir $A$ $B$ luego de que su producto va a ser una traducción en la línea $AB$ que no puede ser de orden 2.