De Cauchy-Schwarz y encasillar

Question

Ocasiones he oído que se dijo (más notablemente en Terry Tao del blog), que "el Cauchy-Schwarz desigualdad puede ser visto como un análisis cuantitativo en el fortalecimiento del principio del palomar." Ciertamente he visto la desigualdad de poner a buen uso, pero no he visto nada que me hacen creer que la declaración en el mismo nivel que yo creo que el método de probabilidades puede ser utilizado como un (gran) fortalecimiento de encasillar.

Entonces, ¿cómo exactamente puede Cauchy-Schwarz ser visto como una versión cuantitativa del principio del palomar? Y para mayor pigeonholey bondad, hay igualmente la potencia de las versiones del principio de otras generalizaciones? (Álgebra lineal argumentos [en particular dimensión argumentos], el método de probabilidades, etc.)

Answer 1

Mi propia interpretación (que supongo que es bastante similar a la de arriba):

Supongamos que usted tiene r palomas y n agujeros, y desea minimizar el número de pares de palomas en el mismo agujero. Esto puede ser visto como el equivalente a la minimización de la suma de los cuadrados del número de palomas en cada agujero.

Clásico de Cauchy Schwartz: x_1^2+...+x_n^2 >= [(x_1+...+x_n)^2]/n.

Discretos de Cauchy Schwartz: Si usted debe colocar un número entero de palomas en cada agujero, el número de parejas del mismo agujero palomas se minimiza al distribuir las palomas tan cerca uniformemente como sea posible sujeto a esta restricción.

Caja: En el caso de r=m+1, la mayoría incluso dividir es (2,1,1,...,1), la cual tiene un par de palomas en el mismo agujero.

Answer 2

Muy interesante. He aquí un intento de una respuesta:

Supongamos que hay n cajas, con orificio de k que contiene f(k) de las palomas, para k = 1, ..., n. El número total de las palomas es m = ∑ⁿ_k=1 f(k) = f.u en la norma interna del producto, en donde u(k) = 1 para todo k. El Cauchy-Schwarz desigualdad implica que ||f|| ||u|| >= |f.u| = m, ||f|| >= m/||u|| = m/sqrt(n). Por otro lado, si r es el máximo de f(k) para k = 1, ..., n, entonces ||f|| = sqrt ( ∑ ⁿ_k=1 f(k)²) <= sqrt ( ∑ ⁿ_k=1 r²) = r * sqrt(n). Poniendo a estos en conjunto, hemos de i * sqrt(n) >= ||f|| >= m/sqrt(n), de manera que r >= m/n. Ese es el principio del palomar: si hay m de las palomas en n los agujeros, a continuación, algunos agujero tiene al menos m/n de las palomas, que se convierte en el techo(m/n) si las palomas no puede ser dividido.

Que hace parecer una muy especial caso de la de Cauchy-Schwarz desigualdad, que hace que sea un poco insatisfactorio. Probablemente no sea exactamente lo que Terry Tao tenía en mente, pero no es completamente falso, ya sea.