secciones espectrales - construcción explícita

Question

Melrose y Piazza definieron el concepto de "secciones espectrales" (véase Journal of Differential Geometry, 45 (1997), p.99-180).

Ahora estoy buscando ejemplos no triviales y métodos para construir explícitamente tales secciones. ¿Alguien conoce referencias al respecto (si es que existen)?

Gracias de antemano.

P.D.: Tal vez sería útil una breve descripción de este concepto:

Tomemos una familia de operadores diferenciales autoadjuntos $D_\beta$ de primer orden, parametrizado sobre un espacio base compacto B. Entonces cada $D_\beta$ tiene un espectro discreto con eigenspaces de dimensión finita. Sea $\Pi_\beta$ sea la proyección sobre los espacios propios con valores propios positivos. $\Pi_\beta$ en general no es continua en la variable $\beta$ . A sección espectral ahora es una familia $P_\beta$ de proyecciones, dependiendo continuamente de $\beta$ para que $P_\beta - \Pi_\beta$ es un operador compacto para cada $\beta$ .

La existencia de secciones espectrales se puede determinar utilizando algún tipo de índice en la teoría K. Esto es bonito, pero no dice mucho sobre la construcción de secciones espectrales.

Answer 1

Probablemente ya lo sepa, pero el método estándar consiste en suponer que existe un hueco espectral, es decir, un número real que no está en el espectro de $D_\beta$ para todos $\beta$ . Así que aunque, como señalas, el cero podría no funcionar, otro número real sí, o más generalmente, si hay una función $g:B\to R$ para que $g(\beta)$ no se encuentra en el espectro de $D_\beta$ entonces se puede utilizar para construir una sección espectral.

Dichas funciones siempre se pueden encontrar localmente, por lo que se puede intentar parchear estas soluciones locales; quizás esto es lo que subyace en Melrose-Piazza.

Otro método general, cuando el espacio $B$ es un intervalo y la dependencia de $D_\beta$ en $\beta$ es analítica, es utilizar el lema de selección de Kato, que permite continuar analíticamente los eigenvectores, y en particular si se toma el eigenspan positivo en un parámetro, se puede extender esto a una sección espectral sobre el intervalo, incluso si no hay brecha espectral. Presumiblemente, si se tiene cuidado, se puede extender esta idea para familias analíticas más generales. Normalmente las familias que surgen en contextos geométricos varían analíticamente, aunque esto no siempre es fácil de comprobar.