Variedades de carcajadas casi triviales

Question

Así que, hoy he empezado a aprender la definición de una variedad de carcaj, y quería asegurarme de que estoy entendiendo las cosas bien, así que primero, mi configuración:

He estado mirando el caso más simple que no parecía completamente trivial: dos vértices con una arista dirigida. Ahora, mi entendimiento es que entonces tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de las dimensiones $n$ y $m$ y la variedad del carcaj es $\hom(V,W)\oplus \hom(W,V)/GL(V)\times GL(W)$ con la acción de cada grupo en el dominio o codominio, según sea el caso.

Ahora, un recuento ingenuo de la dimensión (este es un lugar en el que puedo estar muy, muy equivocado) es que esto es un $2nm-n^2-m^2=-(m-n)^2$ espacio dimensional. Así que, presumiblemente, si $m=n$ el cociente GIT es un punto único.

Ahora, ¿qué pasa si $n\neq m$ ? Es de suponer que no obtenemos nada por el cociente de las TIG, ya sea un punto o el conjunto vacío (no conozco muy bien las TIG, así que ¿quizá no haya puntos estables?)

Por último, ¿tiene este objeto una geometría interesante como pila? Parece obvio que debería ser una pila de Artin suave (si mi intuición para ellos es vagamente precisa) que resulta ser de dimensión negativa, pero ¿qué tipo de propiedades tiene?

Answer 1

En primer lugar, un punto importante: la gente que estudia las variedades de carcaj no suele tomar cocientes de pila, sino cocientes de GIT (aunque HAY muy buenas razones para hacerlo si te gusta la teoría de la representación geométrica), lo que les lleva a obtener fórmulas de dimensión diferentes a las tuyas. La razón es que estás pensando en un espacio de moduli fino, cuya dimensión de pila es la dimensión geométrica de la variedad subyacente menos la dimensión del grupo de automorfismo del objeto, y los módulos sobre un álgebra SIEMPRE tienen automorfismos (si no es que tienen multiplicación por constantes).

Ahora, la respuesta adecuada: Parece que has mezclado dos de las nociones más populares de una variedad de carcaj (lo que ha provocado tu confuso diálogo con Greg en los comentarios), y Kevin parece haber mezclado una tercera, que puede o no ser realmente la que tenías en mente (todas ellas están, por supuesto, estrechamente relacionadas). Si tienes dos vértices y una flecha, entonces hay dos cosas que puedes hacer.

Se puede tomar el espacio de moduli de las representaciones del álgebra de trayectoria de ese carcaj, que viene dado por $\mathrm{Hom}(V,W)/GL(V)\times GL(W)$ . Esto tiene una dimensión muy pequeña $(nm-n^2-m^2)$ y probablemente debería pensarse en un número finito de puntos (de hecho, este carcaj sólo tiene un número finito de representaciones de cualquier dimensión dada. Los indecomponibles tienen el siguiente aspecto $k\to 0$ , $0\to k$ y $k\to k$ ), todos los cuales tienen un montón de automorfismos.

Ahora parece que lo que pretendías era tomar la "hiperkählerización" de esta variedad de carcaj. Lo que deberías hacer para esto es tomar el haz cotangente de $\mathrm{Hom}(V,W)$ pero antes de que se modifique, hay que imponer una condición de mapa de momento. La razón por la que esto es una buena idea es que quieres una variedad resultante que sea un resultado holomorfo simpléctico (al igual que el haz cotangente), que también puedes considerar como hiperkähler eligiendo una métrica hermitiana en $\mathrm{Hom}(V,W)$ . Esta condición de mapa de momento es básicamente que ambas composiciones posibles de mapas a lo largo de sus flechas son 0 (nota: creo que esto no es un mapa plano, así que creo que si quieres realmente pensar adecuadamente en esta historia, probablemente deberías tomar la fibra derivada). Entonces toma el cociente de eso.

Lo que Kevin está refiriendo es probablemente la definición más popular de variedades de carcaj para la teoría de la representación geométrica. Se trata de otra definición, en la que interpretó uno de sus vértices como un vértice de sombra. Esta capa extra de confusión es el resultado de algunas (en mi opinión, pobres) elecciones notacionales de Nakajima.

Answer 2

Sólo puedo decirte cómo es el espacio hasta la acción. La clasificación de la órbita de $\text{hom}(V,W) \oplus \text{hom}(W,V)$ se parece mucho a la clasificación orbital de $\text{hom}(V,V)$ que, como se sabe en álgebra lineal, viene dada por la forma canónica de Jordan. De hecho, si compones las dos homs, la clasificación es claramente al menos tan complicada como la JCF. Sólo hay una modesta cantidad más de estructura porque la parte nilpotente es más complicada. Aunque la dimensión formal del cociente es efectivamente negativa o 0, su dimensión geométrica es estrictamente positiva cuando $V$ y $W$ no son triviales.

Dejemos que $$f:V \to W \qquad g:W \to V$$ sean los dos mapas lineales. Entonces $f$ tiene un núcleo, $g \circ f$ podría tener un núcleo más grande, etc. Definir el núcleo estable $V_0$ y el imagen estable $V_1$ de $g \circ f$ para ser los límites directos del núcleo y la imagen de $(g \circ f)^n$ . Como en una prueba de la forma canónica de Jordan, $V = V_0 \oplus V_1$ . Del mismo modo, $W = W_0 \oplus W_1$ . La pareja $(f,g)$ se divide canónicamente en dos pares, $(f_0,g_0)$ y $(f_1,g_1)$ . La pareja $(f_0,g_0)$ es nilpotente, mientras que el par $(f_1,g_1)$ es invertible y establece un isomorfismo $V_1 \cong W_1$ .

Debido a los isomorfismos entre $V_1$ y $W_1$ la información invariable en el par $(f_1,g_1)$ es la forma canónica de Jordan de $g_1 \circ f_1$ que es el mismo que el JCF de la otra composición. En otras palabras, o bien $f_1$ o $g_1$ puede ser cualquier isomorfismo, y entonces se puede elegir el otro para establecer una forma canónica de Jordan prescrita. Cualquier valor propio puede aparecer distinto de 0.

El par nilpotente $(f_0,g_0)$ es un poco más interesante. Parece un Ouroboros . Un par nilpotente indecomponible es cualquier cadena finita $$0 \to k \to k \to \cdots \to k \to 0,$$ enrollado de $\mathbb{Z}$ -clasificado a $\mathbb{Z}/2$ - calificado. (Los mapas de conexión en el medio son todos isomorfismos, no diferenciales.) Las cadenas pueden tener una longitud impar, por lo que $V_1$ y $W_1$ no tienen que tener la misma dimensión. Una cadena de cualquier longitud también puede descender de dos maneras diferentes a $V_1$ y $W_1$ .

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Del comentario de Ben deduzco que es una respuesta correcta a una pregunta incorrecta. Es una buena descripción de la variedad de representación de un carcaj cíclico; no hay nada especial sobre la longitud del ciclo 2 en el análisis. Pero la $A_2$ La variedad del carcaj es otra cosa.

Answer 3

Esta respuesta es simplemente en relación con el recuento de dimensiones ingenuo calculado en la pregunta. Cuando se toma un cociente GIT, no se puede simplemente restar las dimensiones para obtener la dimensión del cociente. Por ejemplo, si se hace un cociente de gl _n por GL _n con la acción adyacente, entonces el cociente GIT es n-dimensional. (el cociente aquí es en realidad el espacio afín n y el mapa envía una matriz a su polinomio característico).

Answer 4

Como se dice en los comentarios, uno de los problemas aquí es la multiplicidad de cosas que se llaman "variedades de carcaj". El ejemplo que estás viendo correspondería, en el contexto de Nakajima, a una variedad quiver unida a $SL_2$ y tal vez valga la pena explicitarlo. Nakajima empieza con un carcaj Q, y hace dos cosas: primero añade un "vértice sombra" para cada vértice original, y una arista desde ese vértice hasta su correspondiente vértice en el carcaj original, y luego toma el haz contangente de todo, lo que en términos de grafos significa añadir para cada arista que ahora tienes otra arista en la dirección opuesta. Así, para $SL_2$ el carcaj original es un solo vértice sin aristas. El procedimiento de Nakajima añade otro vértice y dos aristas, una en cada dirección.

Los cocientes que Nakajima consideraría entonces serían con respecto a la acción de los grupos lineales generales sobre los vértices originales: en nuestro caso sólo uno de ellos, digamos $V$ . Para el cociente GIT, se utilizaría alguna opción de estabilidad, que en este caso podría ser simplemente que el mapa $x \colon W \to V$ es suryente. Entonces se necesita el mapa de momentos para la acción del grupo $\text{GL}(V)$ : esto es sólo el mapa del compuesto $xy \in \text{End}(V)$ (donde $y\colon V \to W$ es el otro mapa lineal). El cociente simpléctico es entonces el cociente por la acción de $\text{GL}(V)$ en la parte estable del lugar cero del mapa de momentos: así los pares $(x,y)$ donde $x$ es suryente, y la imagen de $y$ se encuentra en el núcleo de $x$ . La subjetividad de $x$ significa que el $\text{GL}(V)$ es libre, y el cociente puede entonces identificarse con el haz cotangente a un grassmanniano de $W$ : es la imagen del mapa $(x,y) \mapsto (\text{ker}(x),yx)$ . El cociente afín es la imagen del mapa $(x,y) \mapsto yx$ que le da el cierre de una órbita nilpotente en $\text{End}(V)$ .