Conjugacy en $S_n$ con la composición de las permutaciones de izquierda a derecha en comparación con la derecha a la izquierda

Question

Me doy cuenta de que hay dos convenios para la composición de las permutaciones.

De izquierda a derecha: $(1\ 2)(1\ 3) = (1\ 2\ 3)$

De derecha a izquierda: $(1\ 2)(1\ 3) = (1\ 3\ 2)$

Entre otros, Dummit y Foote y Contemporáneo Álgebra Abstracta (Gallian) el uso de la derecha a la izquierda convención, mientras que el Manual de cálculo de Teoría de grupos (Holt), la Salvia, y la BRECHA de uso de la izquierda a la derecha convención.

Ahora bien, dado permutaciones $\sigma, \tau \in S_n$ donde $\sigma = (\sigma_1\ \sigma_2 \ldots\ \sigma_n)\ldots$, en la de la derecha a la izquierda de la convención de nosotros tiene la conveniente hecho de que $\tau \sigma \tau^{-1} = (\tau(\sigma_1)\ \tau(\sigma_2)) \ldots\ \tau(\sigma_n)\ldots$.

Prueba: Observar que si $\sigma(i) = j$,$\tau \sigma \tau^{-1} (\tau(i)) = \tau(j)$. Por lo tanto, si el par ordenado $i, j$ aparece en el ciclo de descomposición de $\sigma$, entonces el par ordenado $\tau(i), \tau(j)$ aparece en el ciclo de descomposición de $\tau \sigma \tau^{-1}$.

Ahora, si usted cree que usted puede utilizar una similar de la prueba para obtener el feo hecho de que en la izquierda a la derecha de la notación $\tau \sigma \tau^{-1} = (\tau^{-1}(\sigma_1)\ \tau^{-1}(\sigma_2) \ldots\ \tau^{-1}(\sigma_n))\ldots$

Para mí, esto hace que la izquierda a la derecha convención inferior, debido a la conjugación de la siguiente manera menos natural de la regla. Me estoy perdiendo algo? Hay otras razones para componer permutaciones de izquierda a derecha en el resultado de un simple algebraica de las leyes? Y si no, tengo curiosidad de saber por qué nosotros no utilizamos exclusivamente de derecha a izquierda de la notación.

Answer 1

El "feo" fórmula $\tau \sigma \tau^{-1} = (\tau^{-1}(\sigma_1)\ \tau^{-1}(\sigma_2) \ldots\ \tau^{-1}(\sigma_n))$ puede ser fácilmente reescrito en el formulario de $\tau^{-1} \sigma \tau = (\tau(\sigma_1)\ \tau(\sigma_2) \ldots\ \tau(\sigma_n))$, el uso de la bijection $\tau^{-1}\mapsto \tau$. Así que yo no diría que la izquierda a la derecha de la convención es "inferior". Cada uno de los convenios tiene ciertas ventajas, de las que dependerá del contexto. En un resumen de grupo $G$ de las palabras que se dan generalmente por $w=a_1^{e_1}\cdots a_r^{e_r}$ de izquierda a derecha, pero si los elementos son los mapas, a veces parece mejor usar la derecha a la izquierda convención, a fin de tener $(fg)(x)=f(g(x))$.

Answer 2

De izquierda a derecha es básicamente un producto de lenguas occidentales, siendo escaneados de esta forma. La convención de los grupos actuantes (grupo de acciones son la razón-d-être para la teoría del grupo) a la derecha, y la permutación de producto es una consecuencia.

Si usted tiene un grupo de $G$ que actúa sobre un conjunto $\Omega$, $\omega^{gh}=(\omega^g)h$ en de izquierda a derecha, mientras que al actuar sobre la izquierda tenemos el mejor de los que $(gh)(\omega)=g(h(\omega))$ (o en algunos convención, incluso la perversa $h(g(\omega))$). Para muchos el grupo de teóricos (el uso parece diferir entre los grupos de teoría y de otras áreas) la primera versión es más fácil de escribir, especialmente si el producto se hace más largo.

Un bono gratis es que el derecho de acción corresponde a los vectores fila, que son más fáciles de componer de vectores columna.

En mi (parcial) de la vista de las razones principales por la derecha a la izquierda de la convención son el uso histórico de cálculo (uno escribe $\sin(a)$, no $a^{\sin}$, aunque el segundo uso sería en muchas calculadoras de bolsillo de hoy en día), así como en los libros de texto de Álgebra Lineal que tienden a escribir de sistemas de ecuaciones universalmente como $Ax=b$, no $xA=b$.