¿Cómo son las isometrías $h:(\mathbb{R}^n,||\cdot||_p)\longrightarrow(\mathbb{R}^n,||\cdot||_p)\;$?

Question

Una isometría de $\mathbb{R}^n$ es una función de $h:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n$ que conserva la distancia entre los vectores:

$$||h(x)-h(y)||_p=||x-y||_p\;\;, \;\;p\ge1$$

para todos los $x$ $y$ $\mathbb{R}^n$ donde $||(x_1,x_2,\cdots,x_n)||_p=(x_1^p+x_2^p+\cdots+x_n^p)^{\frac{1}{p}}$

Si $p=2$ $\Longrightarrow$ $h(x)=A\cdot x+a$ , donde $A$ es una matriz ortogonal

Si $p\neq2$ ¿cómo son las isometrías $h$ ?

Todas las sugerencias se agradece.

Answer 1

Por Mazur-Ulam teorema de la deseada isomety es la composición de turno y algunos isométrica operador lineal. Por lo tanto, podemos asumir que $h$ es una isometría lineal. Por Lamperty la caracterización de isometrías de $L_p$ espacios sabemos que isometrías lineales en $\mathbb{R}^n_p$ mapas de $(x_1,\ldots,x_n)$ $(s_1 x_{\sigma(1)},\ldots,s_nx_{\sigma(n)})$donde $|s_1|=\ldots=|s_n|=1$ $\sigma\in \mathfrak{S}_n$