¿Por qué la irreductible de los componentes de un subespacio de Noetherian espacio en la intersección con la irreductible componentes?

Question

Supongamos que usted tiene un Noetherian espacio topológico $X$, y su un número finito de componentes irreducibles de se $X_1,\dots,X_n$. Si $U\subseteq X$ está abierto, ¿por qué la irreductible componentes de $U$ precisamente las intersecciones $U\cap X_i$ que no están vacíos?

La cosa que el disparo de mí es que yo no veo cómo ir de componentes en $U$ a los en $X$. Por suponga $U\cap X_i=(U\cap Z_1)\cup(U\cap Z_2)$ donde $Z_1,Z_2$ están cerrados en $X$. Para mostrar $U\cap X_i$ es irreductible, tiene que ser $U\cap Z_1$ o $U\cap Z_2$. Si no, existen puntos de $x,y\in U$ donde$x\in X_i\setminus Z_1$$y\in X_i\setminus Z_2$. Mi intuición dice que debería haber una forma para subir y encontrar una adecuada descomposición de $X_i$ $X$ como unión de conjuntos cerrados para obtener una contradicción.

Me encuentro con el mismo problema tratando de mostrar a $U\cap X_i$ es máxima entre irreductible pone en $U$.

¿Cuál es la manera correcta de ver esta propiedad?

Answer 1

La sustitución de $X$ $X_i$ $U$ $U \cap X_i$ usted sólo tiene que probar que para cualquier espacio irreductible $X$ y cualquier vacío subconjunto abierto $U \subseteq X$, $U$ también es irreducible. Si $U = (U \cap Z_1) \cup (U \cap Z_2)$ para algunos subconjuntos cerrados $Z_1$, $Z_2$ de $X$, el cierre de la $\overline{U}$$U$$X$$\overline{U \cap Z_1} \cup \overline{U \cap Z_2}$. Como $U$ es un abierto no vacío subconjunto de un espacio irreductible, en particular denso en $X$, esto implica $\overline{U \cap Z_1} \cup \overline{U \cap Z_2} = X$ e irreductibilidad nos da (decir) $X = \overline{U \cap Z_1}$. La intersección con la a $U$ da $U = U \cap Z_1$.

Answer 2

Considerar irreductible de la Topología del espacio de $X$ $U$ es su subconjunto abierto.

Utilice el hecho de que si $X$ es irreductible iff cada dos vacío abrir los subconjuntos de a $X$ tiene intersección no vacía.

A continuación, podemos probar a $U$ todavía es irreducible.

Pero también no sé cómo mostrar $U\cap X_{i}$ es máxima entre irreductible pone en $U$.

@Koji Hamada Hacer usted encontrar la respuesta para esto?