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Question

Encontrar $\inf \{\operatorname{Frac}(\sqrt{5}n) \colon n \in \mathbb{N}_+\}$

Solo por alguna información que$\operatorname{Frac}(x) \in [0,1)$ st$x - \operatorname{Frac}(x) \in \mathbb{Z}$

Me parece que el$\inf$ es 0. No estoy tan seguro de cómo probarlo.

Answer 1

Hay un teorema de Dirichlet, que dice que la parte frac de $n\alpha$ es densa en $[0,1)$ $\alpha$ es irracional.

De todos modos, esto puede ser probado por el principio del casillero, y la siguiente idea básica es suficiente para lo que quieras:

Se dividen en $[0,1)$ intervalos de longitud $m$ $\frac{1}{m}$. Mira la parte fraccional de $\sqrt{5}, 2 \sqrt{5},.., (m+1) \sqrt{5}$. Dos de ellos deben estar en el mismo intervalo de mini, y entonces debe ser la parte fraccionaria de la diferencia en $(0, \frac{1}{m})$.

Hecho.

Answer 2

Sugerencia: Deje $a_n$ la parte fraccionaria de $\sqrt{5}n$, y deje $N$ ser un gran número entero positivo. Considere la posibilidad de $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{N+1}$. Luego, por el principio del palomar hay$i$$j$,$1\le i\lt j \le N+1$, de tal manera que $|a_j-a_i|\lt \dfrac{1}{N}$.

Esto no va a hacer. Pero algo bastante cerca de voluntad.

Answer 3

Considerar la línea de $L$ $y=mx$ en las dos dimensiones de la real torus $T=([0,1]\times[0,1])/\sim$. Si $m$ es irracional, es conocido que la $L$ es denso en $T$. En particular, $L$ interseca a un subconjunto denso en $(\{0\}\times[0,1])\subset T$, que representa los puntos de $mn$$n\in\mathbb{N}^+$.