¿Por qué es $\int\limits_0^1 (1-x^7)^{1/5} - (1-x^5)^{1/7} dx=0$ ?

Question

Cuando traté de aproximar $$\int_{0}^{1} (1-x^7)^{1/5}-(1-x^5)^{1/7}\ dx$$ Seguí recibiendo respuestas que estaban muy cerca de $0$ así que creo que podría ser cierto. ¿Pero por qué? Cuando yo pregunte a Mathematica Me aparecen un montón de símbolos que no entiendo.

Answer 1

Tenga en cuenta que si

$$ y = \left(1 - x^7\right)^{1/5} $$

entonces

$$ \left(1 - y^5\right)^{1/7} = x $$

Esto significa que $(1-x^7)^{1/5}$ es la función inversa de $(1-x^5)^{1/7}$ . En la gráfica, una será igual a la otra cuando se refleje a lo largo de la línea diagonal y = x.

Además, ambas funciones

1. comparten el mismo rango [0, 1] y dominio [0, 1] y
2. que disminuye monótonamente,

Por tanto, el área bajo la gráfica en [0, 1] será la misma para ambas funciones:

$$ \int_0^1 \left(1-x^7\right)^{1/5} dx = \int_0^1 \left(1-y^5\right)^{1/7} dy $$

Agrupando las dos integrales se obtiene la ecuación del título.

Answer 2

$\int_0^1(1-x^m)^{(1/n)}dx=(m+n)\Gamma(1/m)\Gamma(1/n)/\Gamma(1/m+1/n)$ es simétrico en $m, n$ .