$\det(I+A)$= suma de todos los principales menores de $A$

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil demostrar o encontrar una prueba para el siguiente resultado. Se debe seguir desde una aplicación de la expansión de Laplace.

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Vamos $n\in\mathbb{N}$, $[n]=\{1,\dots,n\}$, y $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. A continuación, $$\det\left( I_{n}+\right) =\sum\limits_{G\subseteq\left[ n\right] } \det\left( A_{G}\right).$$ donde $A_{G}$ es la matriz $A$ con todas las columnas y filas no en $G$ eliminado.

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Por ejemplo, aquí está la prueba de $n=3$:

$\det\left( I_{n}+\right) =\det\left( \begin{array} [c]{ccc} 1+a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & 1+a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & 1+a_{3,3} \end{array} \right) $

$\;\;\;\;=\izquierda( 1+a_{1,1}\right) \left( 1+a_{2,2}\right) \left( 1+a_{3,3} \right) +a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}$

$\;\;\;\;\;\;\;\; -\izquierda( 1+a_{1,1}\right) a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}\left( 1+a_{3,3}\right) -a_{1,3}\left( 1+a_{2,2}\right) a_{3,1}$

$\;\;\;\;=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}+a_{1,1}a_{3,3}-a_{1,3}a_{3,1}+a_{2,2}a_{3,3}$

$\;\;\;\;\;\;\;\; -a_{2,3}a_{3,2}+a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2} a_{2,1}a_{3,3}$

$\;\;\;\;\;\;\;\; +a_{1,2}a_{3,1}a_{2,3}+a_{2,1}a_{1,3}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} +a_{1,1}+a_{2,2}+a_{3,3}+1$

$\;\;\;\;=\underbrace{a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3} a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}-a_{1,3} a_{2,2}a_{3,1}}_{=\det a=\det\left( A_{\left\{ 1,2,3\right\} }\right) }$

$\;\;\;\;\;\;\;\;+\underbrace{a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}}_{=\det\left( A_{\left\{ 1,2\right\} }\right) }+\underbrace{a_{1,1} a_{3,3}-a_{1,3}a_{3,1}}_{=\det\left( A_{\left\{ 1,3\right\} }\right) }+\underbrace{a_{2,2}a_{3,3}-a_{2,3}a_{3,2}}_{=\det\left( A_{\left\{ 2,3\right\} }\right) }$

$\;\;\;\;\;\;\;\;+\underbrace{a_{1,1}} _{=\det\left( A_{\left\{ 1\right\} }\right) }+\underbrace{a_{2,2}}_{=\det\left( A_{\left\{ 2\right\} }\right) }+\underbrace{a_{3,3}}_{=\det\left( A_{\left\{ 3\right\} }\right) }+\underbrace{1}_{=\det\left( A_{\varnothing}\right) }$

$\;\;\;\;=\sum\limits_{G\subseteq\left[ n\right] }\det\left( A_{G}\right) $.

Answer 1

Se debe recordar la fórmula $$ \chi_A(X) \desbordado{def}= \det(X\, \mathrm{id}_n - A) = \sum_{i=0}^n [(-1)^k \mathrm{tr}(\Lambda^k)] X^{n-k}, $$ que, si nunca has visto probado, he escrito aquí (Tu pregunta es válida para un general conmutativa unital anillo de $R$, pero si solo le importan un espacio vectorial sobre un campo o los números reales, se sienten cómodos para asumir $R$ es que el campo de los números reales.) A continuación, se trata de un ejercicio para demostrar que $$ \mathrm{tr}(\Lambda^k A) = \underset{|G|=k}{\sum_{G \subseteq [n]}} \det(A_G). $$ Si conecta $X=-1$, el lado izquierdo se convierte en $(-1)^n \det(I_n+A)$ y el lado derecho se convierte en $(-1)^n \sum_{G \subseteq [n]} \det(A_G)$.

Sugerencia para el ejercicio : el mapa de $\Lambda^k A : \Lambda^k R^n \to \Lambda^k R^n$ está definido por $v_1 \wedge \cdots \wedge v_k \mapsto A v_1 \wedge \cdots \wedge A v_k$. Expresar en coordenadas sobre el estándar de base (es decir, aquel en el que $A$ está escrito con coeficientes) y deducir que la expresión de $A$ en las coordenadas utiliza los menores de $A$ como sus coeficientes. Luego resumir los términos de la diagonal.

Espero que ayude,