Número de soluciones de PIV

Question

Considere el problema de valor inicial

$\dfrac{dy}{dx}=3y^{{2}/{3}}$ con condición inicial $y(0)=0$.

Cuántas soluciones hay para este PIV?

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. infinitamente muchos.

Claramente, $f(x,y)=3y^{\dfrac{2}{3}}$ no satisface la condición de Lipschitz y por lo que la solución de la urografía EXCRETORA no es única.

La resolución de la ecuación con condición inicial obtenemos $y=x^{3}$. De nuevo $y=0$ es la solución trivial. Así que tengo dos soluciones.¿Hay alguna otra solución(/s)? Quiero saber todas las soluciones y cómo vemos?

Answer 1

Hay infinitamente muchas soluciones, por supuesto. De hecho, todas las funciones de la forma $$ y_s(x) = \left\{ \begin{aligned} &0 &&\text{ if } x\leq s\\ &(x-s)^3 &&\text{ if } x > s \end{aligned} \right. $$ son soluciones de su problema de Cauchy para cualquier $s \geq 0$.

Es fácil de comprobar. El cero es una solución en todas partes (en particular, para $x \leq s$); y $(x-s)^3$ es una solución del problema de Cauchy $$ \frac{dy}{dx} = 3 y^{2/3} \quad \text{con} \quad y(s) = 0 $$ para $x \geq s$.

Ahora, si nos "pegue" el cero y el $(x-s)^3$, entonces va a ser la solución de su problema, excepto, probablemente, el punto de $x = s$. Sin embargo, en $x = s$ la función de $y_s(x)$ es continuamente diferenciable, y por lo tanto, $y_s(x)$ es la solución correcta de $$ \frac{dy}{dx} = 3 y^{2/3} \quad \text{con} \quad y(0) = 0. $$

Por lo tanto, hay una infinidad de soluciones, desde la $s \geq 0$ es arbitrario.

Answer 2

Hay una pequeña sutileza acerca de la definición de $y^{2/3}$ al $y<0$. Si se deja sin definir, a continuación, opto por $2$ soluciones, si se define como la $\bigl({\root 3\of{-| y|}}\bigr)^2=\bigl(-{\root 3\of {|y|}}\bigr)^2=|y|^{2/3}$ opto por $4$ de ellos.

Mi razón para esto es que me gustaría contar dos soluciones $x\mapsto\phi_1(x)$ $x\mapsto\phi_2(x)$ que está de acuerdo en un abrir barrio de $x=0$ como representantes más de la misma solución germen. Ya que podemos elegir entre las $x\mapsto0$ $x\mapsto x^3$ independientemente de $x\leq0$ $x\geq0$ hay $4$ diferentes gérmenes en todos (resp., $2$ de ellos si dejamos $y^{2/3}$ indefinido para $y<0$).

Answer 3

Si permitimos $x$ $y$ a ser complejos no son, posiblemente, 3 distinto de cero soluciones, con $x$ equiparaba a las 3 raíces complejas de $y^{\tfrac{1}{3}}$, llevando el número total de soluciones a los 4.