La estimación de integrales implican $\pi(x)$

Question

Mientras que la solución de un ejercicio en la teoría analítica de números, me encontré con la dificultad de calcular una integral de la forma $\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{\pi(t)}{t} dt$ donde $\pi(x)$ es la primer función de conteo.

Estoy interesado en la comprensión de cómo calcular esta integral (como una función de la $x$ del curso), si se trata de un gran Oh estimado, o algo más preciso. Todas las referencias son apreciados.

Del mismo modo, ¿cómo podría una estimación $\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{\pi(t)}{t^2} dt$ como una función de la $x$?

Gracias!

Answer 1

Estoy publicando para añadir a las respuestas que ya aparecen en los comentarios, así que la pregunta no respondida.

Por el teorema de los números primos $$\int_1^x \frac{\pi(t)}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{\log t}dt+O\left(\int_1^x \frac{1}{\log^2 t}dt\right)$$ $$=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{\log^2 x}\right).$$ Using Chebyshev's bounds instead of the PNT allows us to show that the integral is $S\left(\frac{x}{\log x}\right).$

Para ser más precisos, podemos señalar que $$\int_1^x \frac{\pi(t)}{t} dt=\sum_{p\leq x} \log(x/p).$$ This is a basic example of Riesz weights. Then we have that $$\sum_{p\leq x} \log x =\log x \text{li}(x)+O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right)$$ where $\texto{li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\log t}dt$, and $$\sum_{p\leq x} \log p = \theta(x)=x+O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right).$$ Hence $$\int_1^x \frac{\pi(t)}{t} dt=\log x \text{li}(x)-x +O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right)$$ which implies that $$\int_1^x \frac{\pi(t)}{t} dt=\frac{x}{\log x}+\frac{2x}{\log^2 x}+\cdots .$$