¿Está un subconjunto abierto de una superficie compacta con frontera conectada completamente determinado por su grupo fundamental?

Question

¿Es un subconjunto abierto y conexo de una superficie compacta con límite conexo determinado (hasta el homeomorfismo) por su grupo fundamental?

Si debilitamos las hipótesis, puedo ver cómo esto puede fallar:

• Un cilindro y un círculo son subconjuntos del toro con $F_1$ como su grupo fundamental, por lo que el requisito de que el subconjunto sea abierto es necesario.
• Un toro con un punto eliminado y un disco dos veces perforado tienen ambos $F_2$ como su grupo fundamental, por lo que el resultado puede fallar si permitimos subconjuntos con límites desconectados.
• Dado que un espacio desconectado no suele tener un único grupo fundamental definido (tenemos que especificar dónde se encuentra el punto base), exigir la conectividad parece razonable.

Parece que los subconjuntos abiertos de una superficie compacta con una frontera conectada son lo suficientemente "bonitos" como para que este resultado se pueda mantener.

Esta pregunta se me ocurrió cuando estaba respondiendo a esta pregunta si fuera cierto, entonces podríamos enumerar las posibles caras de un gráfico incrustado en cualquier superficie $S$ simplemente enumerando los subgrupos de $S \setminus \{p\}$ .

Answer 1

Interpreto su pregunta como "si $X$ es un subconjunto abierto de una superficie cerrada, y sólo tiene un Finalizar ¿se determina por su grupo fundamental?"

Sí. De hecho, una superficie $\Sigma$ con un extremo y grupo fundamental $F_{2g}$ es homeomorfo al género puntuado $g$ superficie, y este es el único grupo fundamental posible. Para demostrarlo se utiliza la observación de esta respuesta y explotar el hecho de que, como $\Sigma$ es un subespacio abierto de una superficie cerrada, no puede tener un género infinito.