Mostrar que $\mathbb{R}^2/{\sim}$ es homeomorfo a la esfera $S^2$.

Question

$\mathbb{R}^2/{\sim}$ es la relación de equivalencia más pequeña tal que $P\sim Q$ para todo $P,Q$ con $\|P\|_2,\|Q\|_2 \geq 1$. Muestra que $\mathbb{R}^2/{\sim}$ es homeomorfo a la esfera $S^2$.

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Intento:

$\mathbb{R}^2/{\sim}=A\cup B$ donde $A:=\{\{P\}:\|P\|_2<1\}$ y $B:=\{\{P:\|P\|_2\geq1\}\}$. Creo que $A$ corresponde a un disco abierto unitario y podemos deformarlo a la esfera menos un punto $x$ y también $x$ corresponde al elemento de $B$. Pero no puedo escribir explícitamente el homeomorfismo entre $\mathbb{R}^2/{\sim}$ y $S^2$.

Editar: Formalmente tenemos $\mathbb{R}^2/{\sim}\supseteq A\simeq \mathbb{B}^2\simeq\mathbb{R}^2\simeq S^2-\{x\}\subseteq S^2$ donde $\mathbb{B}^2$ es el disco abierto unitario en $\mathbb{R}^2$. Claramente podemos extender el homeomorfismo entre $A$ y $S^2-\{x\}$ a la biyección de $\mathbb{R}^2/{\sim}$ a $S^2$. ¿Cómo podemos mostrar que esta biyección es realmente un homeomorfismo?

Answer 1

Si no te sientes completamente cómodo trabajando con espacios cociente, lo siguiente es muy útil.

Propiedad universal del espacio cociente

Sean $X,Y$ espacios topológicos, y sea $\sim$ una relación de equivalencia en los puntos de $X$. Entonces tenemos un mapa continuo natural $p\colon X\to X/{\sim}$ dado al proyectar un punto de $X$ en su clase de equivalencia.

Ahora, sea $g\colon X/{\sim}\to Y$ un mapa continuo. Al componerlo con $p$, obtenemos un mapa continuo de $X$ a $Y:

$$ g\circ p\colon X\xrightarrow{p}X/{\sim}\xrightarrow{g}Y $$

Escribimos $f=g\circ p$. Ahora $f$ no es simplemente un mapa continuo cualquiera de $X$ a $Y; tiene una propiedad especial; es decir, que si $x\sim y$ entonces $f(x)=f(y) [Esto es porque $p(x)=p(y)].

¿Por qué es esto interesante? Bueno, nos da una caracterización de los mapas continuos de $X/{\sim}\to Y:

 

si $f\colon X\to Y$ es un mapa continuo tal que

   

(*) $f(x)=f(y)$ siempre que $x\sim y$

   

entonces hay un único mapa continuo $g\colon X/{\sim}\to Y$ tal que $f=g\circ p.

En otras palabras, el siguiente mapa de conjuntos es una biyección:

\begin{align} \{\textrm{Mapas continuos }g\textrm{ de }X/{\sim}\textrm{ a }Y\}&\to\{\textrm{Mapas continuos }f\textrm{ de }X\textrm{ a }Y\textrm{ que satisfacen (*)}\} \\ g&\mapsto g\circ p \end{align}

Entonces, idear un mapa continuo desde $X/{\sim}$ a $Y$ es lo mismo que idear un mapa continuo de $X$ a $Y$ que sea constante en las clases de equivalencia.

Este ejemplo particular

Aquí, quieres definir un homeomorfismo de $\mathbb R^2/{\sim}$ a $S^2$, donde $\sim$ identifica todos los puntos cuya norma es al menos $1$. Por la discusión anterior, necesitamos especificar un mapa continuo de $\mathbb R^2$ a $S^2$ que sea constante fuera del disco unitario abierto. Claramente, para hacer esto, es suficiente definir un mapa continuo desde el disco cerrado $D^1=\{P\in\mathbb R^2\;\colon\;\|P\|\le 1\}$ a $S^2$ y luego extenderlo con el valor constante en todas partes.

¿Puedes pensar en un mapa adecuado? Debería ser sobreyectivo, y debería ser inyectivo excepto en el borde del disco, donde debería tomar algún valor constante.

Pista: Recuerda que el disco cerrado $D^1$ se puede parametrizar por coordenadas polares $(\rho,\vartheta)$, y que la esfera $S^2$ se puede parametrizar por coordenadas polares esféricas $(\phi, \theta).

Answer 2

En lugar de $S^2$, se puede trabajar con la esfera de Riemann $\widehat{\mathbb C}=\mathbb R^2\cup\{\infty\}$ y mostrar que $\mathbb R^2/ {\sim}$ es homeomorfo a $\widehat{\mathbb C}$.

Consideremos el siguiente mapa: $$\begin{array}{rrcl}\varphi: & \mathbb R^2 & \longrightarrow & \widehat{\mathbb C} \\ & x & \longmapsto & \left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x}{1-\|x\|} & \text{ si } \|x\|<1 \\ \infty & \text{ si } \|x\|\geq 1\end{array}\right. \end{array} $$

$\varphi$ es continua y constante en cada clase de equivalencia, por lo tanto define un mapa continuo bien definido $\overline{\varphi}$ de $\mathbb R^2/{\sim}$ a $\widehat{\mathbb C}$.

Además, se puede verificar fácilmente que:

1. $\overline{\varphi}$ es ahora biyectiva,
2. $\mathbb R^2/{\sim}$ es Hausdorff,
3. Sea $\pi:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^2/{\sim}$ la proyección canónica y $B$ sea la bola unitaria cerrada en $\mathbb R^2$. Entonces $\pi(B)=\mathbb R^2/{\sim}$ y por lo tanto $\mathbb R^2/{\sim}$ es un espacio compacto.

Por lo tanto, $\overline{\varphi}$ es un mapa biyectivo continuo de un espacio compacto en un espacio Hausdorff, por lo que es un homeomorfismo.

Answer 3

La esfera $S^2$ es el conjunto de todos los puntos $$\left\{\pmatrix{\cos \phi\\ \sin\phi\cos\theta\\ \sin\phi\sin\theta}\middle| \array{0\le\phi\le\pi,\\0\le\theta\le2\pi} \right\}$$ El plano $R^2$ puede escribirse como el conjunto $$\left\{\pmatrix{r\cos\sigma\\ r\sin\sigma}\middle| \array{0\le r\\ 0\le\sigma\le 2\pi}\right\}$$ Existe una función $R^2\to S^2$ que envía $$\pmatrix{r\cos\sigma\\ r\sin\sigma}\mapsto\pmatrix{\cos(\pi\min(r,1))\\ \sin(\pi\min(r,1))\cos\sigma\\ \sin(\pi\min(r,1))\sin\sigma}$$ ¿Puedes mostrar que esta función es continua e induce un homeomorfismo $R^2/{\sim} \to S^2$?