No lineal de la ecuación diferencial Ordinaria

Question

Me gustaría resolver:

$$ \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{y^2}=0$$

con $y(0)=a$ $y'(0)=0$

Donde $a$ es una constante.

Gracias de antemano.

Answer 1

Cambio de variables, de modo que la variable independiente es $y$ y el dependiente de $p=y'$. A continuación, $p\dot p=y''$ (puntos de soporte para los derivados w.r.t. $y$, primos w.r.t. $x$) y la ecuación se convierte en $$p\dot p-\frac2{y^2}=0$$ or $$\frac{d}{dy}(\frac{p^2}2)=\frac2{y^2}.$$ This can be solved by integrating into a first order equation for $y$ as a function of $x$.

Answer 2

Tal vez esta es la misma técnica, pero lo que he hecho antes de $y''=f(y)$ es tratado como $$\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}x} = f(y) $$ $$\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}y} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = f(y) $$ $$y'\,\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}y} = f(y) $$ $$\int y'\,{\rm d}y' =\int f(y)\,{\rm d}y +K_0 $$ $$\frac{1}{2} y'^2 = g(y) $$ with $g(y)=\int f(y)\,{\rm d} y + K_0$ $$ y' = \sqrt{2\,g(y)} $$ $$ \frac{{\rm d}y}{\sqrt{2\,g(y)}} = {\rm d}x$$ $$ x = \int \frac{1}{\sqrt{2\,g(y)}}\,{\rm d}y+K_1 $$

Con su ejemplo $$f(y)=2/y^2$$ $$g(y)=\int 2/y^2\,{\rm d}y+K_0 = -2/y +K_0 $$ $$ x = \int \frac{1}{\sqrt{2\,\left(-2/y +K_0\right)}}\,{\rm d}y+K_1 $$ y con el ICdado $$ x = \frac{\sqrt{a}}{4} \left( 2 a \ln{\left(\sqrt{y-a}+\sqrt{y}\right)}-a \ln{a}+2 \sqrt{y (y-a)} \right) $$