Por qué no encontrar el $x$ que maximiza $\ln(f(x))$ es lo mismo que encontrar el $x$ que maximiza $f(x)$?

Question

Estoy leyendo acerca de máxima verosimilitud aquí.

En el último párrafo de la primera página, que dice:

¿Por qué el valor de $p$ que maximiza $\log L(p;3)$ es el mismo $p$ que maximiza $L(p;3)$. El hecho de que se menciona que el registro es una función creciente no me ayuda a comprender del todo. ¿Este método funciona para cualquier función creciente?

He cubierto de una y dos variables de optimización, pero no han llegado a través de este hecho hasta ahora. Me gustaría entender por qué debe ser cierto y leer más acerca de su explicación. Así que, yo también agradecería si alguien puede proporcionar algunos enlaces (no sé qué término de búsqueda).

Answer 1

El $p$ que maximiza $L(p;3)$ (si es que existe), es alrededor de $p^*$, de modo que $L(p^*;3)\ge L(p;3)$ todos los $p$. Que es lo que la maximización de los medios.

Desde $\log$ es creciente, $L(p^*;3)\ge L(p;3)$ implica $\log L(p^*;3)\ge \log L(p;3)$. Por lo $p^*$ maximiza $\log L(p;3)$.

Answer 2

Sí, esto funciona para cualquier función creciente. Considere lo siguiente: Vamos a $f(P)$ ser algunos de los verdaderos valores de la cantidad que usted desea maximizar, que depende de la familia de los parámetros de $P$.

También vamos a $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser estrictamente monótonamente creciente en función, que es $t>s$ es equivalente a $g(t)>g(s)$.

Supongamos que se tienen los valores de $P_0$ para los parámetros, de tal manera que $f(P_0)$ es un estricto máximo. Eso significa que tenemos $f(P_0)>f(P)$ para todos los valores de parámetro $P\ne P_0$. Esto es por el equivalente a $$g(f(P_0))>g(f(P))$$ establecimiento $t=f(P_0)$$s=f(P)$, que exactamente significa que $g(f(P_0))$ es máxima!

Answer 3

Debido a que la función $\ln$ es cada vez mayor. Más detalles?

Answer 4

Tipo de respuesta intuitiva: Maximización de la $\ln f$ consiste en tomar la derivada: $\frac{d \ln f(x)}{dx}$ y la configuración es igual a cero, y la maximización de $f$ consiste en tomar la derivada: $\frac{d f(x)}{dx}$ y la configuración es igual a cero.

$$\frac{d \ln f(x)}{d x} = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

Así

$$\frac{d \ln f(x)}{d x} = 0 \to \frac{f'(x)}{f(x)} = 0 \to f'(x) = 0$$