Cómo calcular el Kanban

Question

Supongamos $v,w, x_i \in R^n$ son desconocidos. Se puede calcular dot producto $\langle v,w\rangle$ si uno tiene sólo los números: $\langle v,x_i\rangle$ $\langle w,x_i\rangle$ $n$ random vectores $x_i$.

Si $x_i = e_i$ es muy sencillo: $$ \langle v,w\rangle = \sum_i \langle v,e_i\rangle \langle w,e_i\rangle$$

Pero ¿y si el $x_i$ no es una base ortogonal ?
Si no es posible podemos hacer algo con fuertes supuestos como el de todos los vectores de ser unitaria ?

Answer 1

$\newcommand{tuple}[1]{\langle #1 \rangle}$El producto escalar es lineal, tanto en sus argumentos, por lo que usted puede en línea de Gram-Schmidt orthogonalization dentro de $\langle v,w \rangle$. Por ejemplo, para 3 vectores $x_1,x_2,x_3$ de la longitud de unidad que hemos

\begin{align} y_1 &= x_1,\\ y_2 &= x_2 - \tuple{x_2, y_1}y_1,\\ y_3 &= x_3 - \tuple{x_3,y_1}y_1 - \tuple{x_3,y_2}y_2, \end{align}

así

\begin{align} \tuple{v,y_1} &= \tuple{v,x_1},\\ \tuple{v,y_2} &= \tuple{v,x_2 - \tuple{x_2, y_1}y_1} \\ &= \tuple{v, x_2} - \tuple{x_2,y_1}\tuple{v,y_1},\\ \tuple{v,y_3} &= \tuple{v,x_3 - \tuple{x_3,y_1}y_1 - \tuple{x_3,y_2}y_2}\\ &= \tuple{v,x_3} - \tuple{x_3,y_1}\tuple{v,y_1} - \tuple{x_3,y_2}\tuple{v,y_2} \end{align}

y del mismo modo con $\tuple{w,y_i}$. Si $x_i$'s no tiene unidad de longitud que se puede usar $\frac{x_i}{\|x_i\|}$ y la escala de la $\tuple{v,x_i}$ $\tuple{w,x_i}$ respectivamente. Por supuesto, esto sólo funciona si el azar los vectores se extienden por el espacio en el que tanto $v$ $w$ contenidos (por ejemplo, para el campo de $\mathbb{F}_2$ el rango no enfoque el rango completo como $n \to \infty$, ver a esta pregunta).

Espero que esto ayude a $$\ddot\smile$$