Lo que va mal cuando intenta reflejar una infinidad de fórmulas?

Question

El principio de reflejo en ZFC muestra que se puede construir un conjunto que refleja un número finito de fórmulas. Supongamos que hemos querido reflejar {$\phi_n$} y se construye un conjunto de $M_n$ a reflejar $\phi_1, ... , \phi_n$$M_n \subset M_{n+1}$. ¿Por qué no $M=\cup M_n$ reflejar la totalidad de los {$\phi_n$}? Sé que esto tiene que ser falso, ya que no debemos ser capaces de reflejar la totalidad de ZFC con un conjunto, pero cuando tratamos de demostrar que esto funciona, parece que el existencial paso va desde las fórmulas sólo puede tener un número finito de variables, y cuando se elige un número finito de elementos de $M$, todos ellos estarán en algunos $M_k$. (Por el "existencial paso", me refiero a probar que : si $\exists x\phi_i(u_1, ..., u_j,x)$$(\exists x \in M)\phi_i(u_1,...,u_j,x)$ )

Relatedly, mediante la reflexión principio, podemos demostrar que ZFC demuestra que cualquier conjunto finito de axiomas de ZFC es consistente. Desde ZFC también puede resultar de compacidad, ¿por qué no este espectáculo que ZFC demuestra su consistencia propia, lo que contradice el teorema de Gödel?

Answer 1

Permítanme en primer lugar la dirección de su argumento concreto. La reflexión teorema dice que para cualquier colección finita de fórmulas de ZFC demuestra que existe un conjunto que refleja las fórmulas. Tenga en cuenta que esto no quiere decir que ZFC demuestra que para cualquier colección finita de fórmulas hay un conjunto que refleja las fórmulas. Esta es una distinción crucial. Esto último sería una sola afirmación, mientras que el primero es una colección de afirmaciones, uno para cada colección de fórmulas. Todas estas declaraciones de vivir sus vidas prácticamente de forma independiente el uno del otro.

Ahora mira a un determinado modelo de $X$ de ZFC y su colección de fórmulas de $\varphi_1,\varphi_2,\dots$ Aplicando el teorema de reflexión infinitamente a menudo (una instancia por cada finito subcolección de la $\varphi_i$) que en realidad obtener su $M_n\in X$ que reflejan sus correspondientes fórmulas. Pero $X$ no, en general, tienen la función de $n\mapsto M_n$ precisamente porque la reflexión teorema no es una sola afirmación (con el parámetro $n$) para ser utilizado en $X$, pero en metatheoretical colección de declaraciones. Y desde $X$ no tiene esa secuencia, su $M$ cual es su unión no tiene que ser un elemento de $X$.

Además, incluso si tuviéramos $M\in X$ aún existen problemas con decir que $M$ refleja todo el $\varphi_i$.

¿Qué significa para un conjunto $M$ a reflejar una fórmula $\varphi$? Esto significa que $\varphi\iff \varphi^M$ donde $\varphi^M$ es la relativización de $\varphi$$M$. Diciendo que hay un $M$ que equivale a decir $\exists M\colon \varphi\iff\varphi^M$. Del mismo modo, diciendo que hay un $M$, lo que refleja un número finito de fórmulas de $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ es simplemente decir $$\exists M\colon\bigwedge_{i<n}(\varphi_i\iff\varphi_i^M)$$ Ahora considere lo que significaría decir que $M$ refleja una infinidad de fórmulas de $\varphi_1,\varphi_2,\dots$, Mientras que esta declaración tiene claro el modelo de la teoría de significado, simplemente no podemos expresar formalmente en el lenguaje de la teoría de conjuntos como lo hicimos antes. Lo mejor que podemos hacer es volver a utilizar un metatheoretic colección de instrucciones, una para cada una de las $\varphi_i$, diciendo que $M$ refleja $\varphi_i$.