Son $p \to (q \to r)$ y $p \to (q \wedge r)$ ¿son lógicamente equivalentes?

Question

Es $p \to (q \to r)$ lógicamente equivalente a $p \to (q \wedge r)$ ?

Simplifiqué cada una de ellas, obtuve $\neg\, p \vee(q \vee r)$ y $\neg\, p (\neg\, q \wedge r)$ respectivamente.

No estoy seguro de que mi simplificación sea correcta, si no es así, ¿cómo se puede simplificar?

¿Cómo saber si puedo simplificar más?

Su consejo es muy apreciado.

Answer 1

Son no equivalente.

Dejemos que $p=1, q=r=0$

Entonces $q\wedge r = 0$ y así tienes

$$p \rightarrow \left(q\wedge r\right) = 0$$

Por otro lado $q\rightarrow r = 1$ y por lo tanto

$$p \rightarrow \left(q\rightarrow r\right) = 1 $$

Answer 2

Puedes intentar hacer una tabla de verdad, marcando columnas para $p$ , $q$ , $r$ , $q \to r$ y $p \to (q \to r)$ y luego hacer otro para $p\to(q\wedge r)$ . No lo voy a hacer por ti pero es bastante sencillo.
No entiendo qué leyes has utilizado para simplificar la expresión. Una útil en este caso es la equivalencia $a\to b$ con $\neg\,a\wedge b$ .

Answer 3

No son equivalentes. Considera lo siguiente:

I. Si $p$ es primo, entonces si $q(\neq p)$ es primo, tenemos $\operatorname{gcd}(p,q)=1$ .

II. Si $p$ es primo, entonces $q(\neq p)$ es primo y $\operatorname{gcd}(p,q)=1$ .

Puedes ver fácilmente que las dos afirmaciones anteriores son diferentes: la primera es verdadera y la segunda es falsa.

Answer 4

La primera le dice que SI $p$ es cierto, Y $q$ es verdadera, entonces necesariamente $r$ también es cierto. El segundo te dice que $p$ verdadero implica tanto $q$ y $r$ son verdaderos. Tomando $p$ Es cierto, $q$ falso, y cualquier valor de $r$ satisface la primera pero no la segunda.

Así que no, no son equivalentes.

Answer 5

Una forma de ver esto es con el método de los cuadros analíticos . La experiencia dice que hay que comprobar primero si $\{\neg(p\to (q\to r)),\, \neg (p\to(q \vee r))\}$ es satisfacible (ya que el tableau es bonito y pequeño): si $(p\to (q\to r))\leftrightarrow (p\to(q \vee r))$ es cierto, entonces ciertamente $\neg(p\to (q\to r))$ y $\neg (p\to(q \vee r))$ son verdaderos al mismo tiempo. Pero tenemos $$\neg(p\to (q\to r)) \\ \neg (p\to(q \vee r)) \\ p \\ \neg(q\to r) \\ p \\ \neg(q\vee r) \\ q \\ \neg r \\ \neg q \\ \neg r\,,$$ que es cerrado (es decir, termina en una contradicción). Por lo tanto, no son equivalentes.