Son localmente homotópica funciones homotópica?

Question

Supongamos que tenemos dos (suave) funciones de $f,g:X\to Y$ donde $X,Y$ son lisas (segunda contables, Hausdorff) colectores que son localmente homotópica (es decir, cualquier punto en $X$ tiene una vecindad $U$ tal que para cualquier $V$ $U$ con su cierre, hay un homotopy que convierte a $f$ a $g$$V$, pero los mantiene fijos fuera de $U$).

Se $f,g$ necesariamente homotópica? Si la respuesta es sí, ¿cuánto podemos debilitar la hipótesis?

Esto parece bastante obvio si $X$ es compacto, por ejemplo, pero no puedo pensar en una manera fácil de mostrar que, en general, a pesar de que parece ser intuitivamente verdadero.

Answer 1

Tomar esferas, por ejemplo. La identidad y la constante mapa de $S^n$ a sí mismo satisface la condición. Porque uno siempre puede optar por $V$ relativamente pequeño en comparación con $U$, por lo que podemos utilizar geodesics para construir el local homotopy.