Deje $X$ ser una adecuada curva, no necesariamente fácil ni reducido, y $E$ un vector paquete en la $X$ de la fila $r$. Asumir sabemos que $H^0(X,E)\geq r$$H^0(X,E^{\vee})\geq r$, podemos concluir que el $E$ es trivial? Hay un cohomological criterio para decidir cuando un vector paquete es trivial?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, No se puede concluir que $E$ es trivial: tome $X=\mathbb P^1_k$$E=\mathcal O_{\mathbb P^1 _k}(-1) \oplus \mathcal O_{\mathbb P^1 _k} (1)$.
El rango de $2$ auto-dual bundle $E$ no es trivial, aunque $h^0(\mathbb P^1_k, E)=h^0(\mathbb P^1_k, \check {E})=2$.
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1) Este ejemplo es probablemente la más simple, pero puede ser variada en innumerables caminos por tomar sumas $\mathcal O_X(-D) \oplus \mathcal O_X(D)$ de la línea de paquetes asociados a un suficientemente amplio eficaz divisores $D$ en una variedad proyectiva $X$ .
2) sin embargo, no es contraejemplo de rango uno en una variedad proyectiva $X$:
Si una línea de paquete de $L$ y su doble paquete de $\check L$ tienen, cada una, no trivial de la sección $s\in \Gamma(X,L),\sigma \in \Gamma(X,\check L) $ , entonces la sección de $s\otimes \sigma \in \Gamma(X,L\otimes\check L )=\Gamma(X,\mathcal O)=k$ es un no-cero constante.
Esto obliga a $s$ a no tener cero y por lo tanto muestra que $L$ es trivial.
