Representaciones y transformaciones en un $SU(n)$ Mentira grupos?

Question

Creo que mi problema es que he malinterpretado lo que "se transforma en" realmente significa.

Tomemos $SU(3)$ $\mathbf{3}$ con índices de Dynkin $(1,0)$, un estado que se transforma como : $ψ→gψ$. Para el $\mathbf{\bar{3}}$ con índices de Dynkin $(0,1)$, un estado que se transforma como : $ϕ→ϕg^{−1}$. Y para el medico adjunto de la representación $(1,1)$: $\mathcal{O}→g\mathcal{O}g^{−1}$.

Pero entonces, si me tome $SU(2)$, debido a que el $\mathbf{2}$ $\mathbf{\bar{2}}$ son equivalentes, se debe transformar en la misma manera? ¿Y qué acerca de una representación etiquetados por $(2,0)$$SU(3)$? Debe un estado en el que esta representación transforma como $\Psi→g^2\Psi$?

Answer 1

Para el caso $SU(n)$, $n>2$ la matriz y su inversa no están relacionadas por una la similitud de transformación, por lo que la representación, cuando uno actúa con $g$ e con $g^{-1}$ no son isomorfos. Para $SU(2)$ puede comprobar que $$g^{-1}=EgE^{-1} $$ where $$E=\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 &0 \end{vmatrix}$$ This means there is no reason to act with $g^{-1}$.

En segundo lugar, es mejor escribir de los índices, que el elemento de la representación del espacio lleva a $g=g^{a}{}_{b}$$\psi=\psi^a$$(1,0)$$\psi=\psi_b$$(0,1)$. Por lo que su $(2,0)$ corresponde a un rango simétrico-dos tensor $\psi=\psi^{ab}=\psi^{ba}$ $g$ de aciertos de cada índice. Dicha notación simple como $g^2\psi$ resulta engañosa.