Determinar la probabilidad de $X_2 \ge X_1$ dado que tienen funciones de probabilidad diferentes

Question

Supongamos que tengo una variable aleatoria $X_1$ que se distribuye normalmente, y una variable aleatoria $X_2$ cuya función de densidad se muestra en la figura siguiente. ¿Cómo podría determinar ${\rm P}(X_1 \le X_2)$ ?

Answer 1

Suponiendo que las variables aleatorias $X_1$ et $X_2$ tienen densidad conjunta $f_{X_1, X_2}$ y las densidades marginales $f_{X_1}$ et $f_{X_2}$ tenemos $$ P(X_1 \leq X_2) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{x_2} f_{X_1, X_2} (x_1, x_2) dx_1 dx_2 . $$ Si las dos variables aleatorias son independientes, la probabilidad es \begin{align*} P(X_1 \leq X_2) & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{x_2} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1 dx_2\\ & = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_2}(x_2) \left\{\int_{-\infty}^{x_2} f_{X_1}(x_1) dx_1\right\} dx_2 \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_2}(x_2) F_{X_1}(x_2) dx_2 \\ & = E\left\{ F_{X_1}(X_2) \right\}. \end{align*} Del mismo modo, tenemos $P(X_2 \leq X_1) = E\left\{ F_{X_2}(X_1) \right\}$ y, por tanto $$ P(X_1 \leq X_2) = E\left\{ F_{X_1}(X_2) \right\} = 1 - E\left\{ F_{X_2}(X_1) \right\}. $$ Tenga en cuenta que si $X_1$ et $X_2$ tienen la misma distribución, entonces $U = F_{X_1}(X_2) = F_{X_2}(X_2)$ sigue una $U(0, 1)$ distribución, y por lo tanto $P(X_1 \leq X_2) = E(U) = 0.5$ como cabría esperar.

Ahora, basándose en su gráfico y en la información proporcionada en uno de sus comentarios, parece que una distribución exponencial desplazada sería una elección razonable para la distribución de $X_2$ . Por lo tanto, si $X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$ et $X_2$ sigue una distribución exponencial desplazada con una tasa $\lambda > 0$ y el parámetro de localización $a$ es decir $F_{X_2}(x) = 1 - \exp\{-\lambda(x-a)\}$ si $x > a$ et $F_{X_2}(x) = 0 $ en caso contrario, la probabilidad es \begin{align} P(X_1 \leq X_2) &= 1 - \int_{-\infty}^{\infty} F_{X_2}(x) f_{X_1}(x) dx \\ &= 1 - \int_{a}^{\infty} [ 1 - \exp\{-\lambda(x-a)\} ] f_{X_1}(x) dx \\ &= 1 - P(X_1 > a) + \int_{a}^{\infty} \exp\{-\lambda(x-a)\} f_{X_1}(x) dx \\ &= \Phi\left( \frac{a - \mu}{\sigma} \right) + \exp \left\{ \lambda (a - \mu) + \frac{\lambda^2\sigma^2}{2} \right\} \Phi\left( \frac{\mu - a - \lambda \sigma^2}{\sigma} \right), \end{align} donde $\Phi(\cdot)$ denota la función de distribución normal estándar.

En su caso, los valores numéricos de los parámetros podrían ser $a = 2$ et $\lambda = 1$ (suponiendo que $X_2$ corresponde a "Strain $\times 1000$ ).

Answer 2

La diferencia entre dos variables independientes tiene una distribución dada por la convolución de las dos distribuciones individuales. Así que básicamente sólo hay que suavizar esa curva de arriba con la distribución normal. Se extenderá en la región negativa y tendrá un pico suave en algún lugar de la región positiva. Eso es todo lo que hay que decir al respecto.

Answer 3

Si su gráfico anterior representa una densidad de probabilidad, entonces puede encontrar la densidad para $X_2 - X_1$ mediante la integral de convolución. Entonces $P(X_2 <= X_1)$ es equivalente a la probabilidad de que $P(X_2 - X_1 <= 0)$ utilizando la función de densidad derivada de la convolución. Si tienes distribuciones discretas, entonces hay un proceso equivalente utilizando una suma en lugar de una integral.

Para el enfoque analítico, a ver si esto ayuda: http://courses.washington.edu/bioen316/Assignments/316_SCP.pdf

Si puede tomar muestras de ambos, entonces las simulaciones de $X_2 - X_1$ dará una aproximación de trabajo. Sólo estoy familiarizado con la forma de hacerlo con una CDF inversa, pero hay un método computacional mencionado aquí que te puede interesar: http://blog.quantitations.com/tutorial/2012/11/20/sampling-from-an-arbitrary-density/