Demostrando que las raíces de $P_n(z) := \sum k^3 z^k$ satisfacer $|z| < 1$ .

Question

Para cada número entero positivo $n$ definan el polinomio $$ P_n(z) = z + 2^3z^2 + ... + n^3z^n. $$ Demostrar que las raíces de $P_n(z)$ se encuentran dentro del círculo unitario.

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Asumiendo la existencia de $|\alpha| \geq 1, P_n(\alpha) = 0$ intenté usar la desigualdad del triángulo: $$ |\alpha|^nn^3 = |\alpha + 8\alpha^3 + ... + (n-1)^3 \alpha^{n-1} | \leq |\alpha| + ... + (n-1)^3 |\alpha|^{n-1} $$ que parece ser demasiado débil para crear una contradicción.

Se agradecen los pensamientos/soluciones.

Answer 1

El Teorema de Gauss-Lucas dice que las raíces de la derivada de un polinomio están en el casco convexo de las raíces del polinomio. Por lo tanto:

Las raíces de $f_n(z) = 1 + z + \ldots + z^n = (z^n-1)/(z-1)$ son raíces de la unidad y se encuentran en el círculo unitario. Las raíces de $f'_n(z) = \sum_{j=1}^n j z^{j-1}$ se encuentran en el casco convexo de estos. Como las raíces de $f_n$ son todos simples, no son raíces de $f'_n$ por lo que las raíces de $f'_n$ están (estrictamente) dentro del círculo unitario.

Las raíces de $g_n(z) = z f'_n(z) = \sum_{j=1}^n j z^j$ son $0$ y las raíces de $f'_n(z)$ Así que, de nuevo, están estrictamente dentro del círculo unitario.

Iterando este proceso, encontramos que para todos los enteros positivos $k$ las raíces de $\sum_{j=1}^n j^k z^j$ están estrictamente dentro del círculo unitario.